A B C D H

Trước hết, hình thang cân ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau nên nó là hình vuông.

Do đó H trùng với D ( cùng là đường cao hình thang )

Do đó AH=AD

Mà AB+CD=AD+AD

⇒2AH=AB+CD

⇒\(AH=\frac{AB+CD}{2}\)

Vậy \(AH=\frac{AB+CD}{2}\)

Kẻ BK⊥CD tại K

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\hat{ADH}=\hat{BCK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>AH=BK và DH=KC

Xét tứ giác ABKH có

AB//KH

AH//BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=KH

DH+HK+KC=DC

=>2DH+AB=DC

=>2DH=DC-AB

=>\(DH=\frac{DC-AB}{2}\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Theo đề, ta có: AC⊥BD tại O

Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

DC chung

AC=BD

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{ODC}=\hat{OCD}\)

=>ΔODC cân tại O

=>ΔODC vuông cân tại O

=>\(\hat{OCD}=\hat{ODC}=45^0\)

Xét ΔAHC vuông tại H có \(\hat{ACH}=45^0\)

nên ΔHAC vuông cân tại H

=>HA=HC

Ta có: HD+HC=DC

=>\(HC=DC-\frac{DC-AB}{2}=\frac{2DC-DC+AB}{2}=\frac{DC+AB}{2}\)

=>\(AH=\frac{DC+AB}{2}\)

Kẻ BK⊥CD tại K

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\hat{ADH}=\hat{BCK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>AH=BK và DH=KC

Xét tứ giác ABKH có

AB//KH

AH//BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=KH

DH+HK+KC=DC

=>2DH+AB=DC

=>2DH=DC-AB

=>\(DH=\frac{DC-AB}{2}\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Theo đề, ta có: AC⊥BD tại O

Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

DC chung

AC=BD

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{ODC}=\hat{OCD}\)

=>ΔODC cân tại O

=>ΔODC vuông cân tại O

=>\(\hat{OCD}=\hat{ODC}=45^0\)

Xét ΔAHC vuông tại H có \(\hat{ACH}=45^0\)

nên ΔHAC vuông cân tại H

=>HA=HC

Ta có: HD+HC=DC

=>\(HC=DC-\frac{DC-AB}{2}=\frac{2DC-DC+AB}{2}=\frac{DC+AB}{2}\)

=>\(AH=\frac{DC+AB}{2}\)

nhiều bài thế

Thế này chắc sáng mai chẳng xong mất