CMR : F = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{200^2}< \frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
XO
9 tháng 11 2019
1) Tính C
\(C=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+....+\frac{n-1}{n!}\)
\(=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)
\(=1-\frac{1}{n!}\)
XO
9 tháng 11 2019
3) a) Ta có : \(P=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)\)
\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\left(đpcm\right)\)
NT
0
27 tháng 4 2018
Gọi tổng trên là A
=>A>\(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{100.101}\) =\(\frac{1}{2}-\frac{1}{101}=\frac{99}{202}>\frac{99}{200}\)(đpcm)
KQ
1
7 tháng 5 2019
Đặt \(S=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{200!}\)
\(\Rightarrow S< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{199.200}\)
\(\Rightarrow S< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
\(\Rightarrow S< 1-\frac{1}{200}< 1\)
\(\Rightarrow S< 1\)( đpcm )
NT
27 tháng 8 2016
\(E=1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-..........-\frac{1}{2004^2}\)
\(E=1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+..........+\frac{1}{2014^2}\right)\)
Ta có : \(E< 1-\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+..+\frac{1}{2003.2004}\right)\\ \)
Đặt A= \(1-\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+......+\frac{1}{2003.2004}\right)\\ =>A=1-\left(1-\frac{1}{2004}\right)\\ =>A=1-\frac{2003}{2004}\\ =>A=\frac{1}{2004}\)
Chắc chắn bạn đã ghi nhầm dấu
2 tháng 5 2018
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{200^2}< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{199\cdot200}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)
\(=1-\frac{1}{200}\)
\(=\frac{199}{200}\)
vậy \(\frac{99}{200}< \frac{199}{200}< 1\left(đpcm\right)\)
5 tháng 7 2015
câu 2: gọi là A đi.
bước 1: A>1
ta có: \(\frac{e}{d+f}>\frac{e}{d+e+f}\) (khi cùng tử, mẫu càng lớn thì p/s càng nhỏ)
tương tự thì: \(A>\frac{e}{d+f+e}+\frac{d}{d+e+f}+\frac{f}{d+e+f}=\frac{e+d+f}{d+e+f}=1\Rightarrow A>1\)
bước 2: A<2
ta có: nếu a>b thì \(\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\); nếu a<b thì \(\frac{a}{b}<\frac{a+m}{b+m}\)
vì: d,e,g là 3 cạnh 1 tam giác => d+f>e => \(\frac{e}{d+f}<\frac{e}{d+f}+1=\frac{e+e}{d+f+e}=\frac{2e}{d+f+e}\)
tương tự thì: \(A<\frac{2e}{d+e+f}+\frac{2d}{d+e+f}+\frac{2f}{d+e+f}=\frac{2\left(d+e+f\right)}{d+e+f}=2\)
vậy là xong nha
11 tháng 7
Để chứng minh bất đẳng thức \(14 < \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \dots \cdot \frac{200}{199} < 20\), ta đặt:
\(A=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\)1. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}\cdot \dots \cdot \frac{200^{2}}{199^{2}}\)Ta có bất đẳng thức phụ: \(\frac{n^2}{n^2-1} > 1\), hay \(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} > 1\). Tuy nhiên, để chặn trên, ta dùng:
\(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}>\frac{n^{2}}{n^{2}}=1\text{\ (không\ giúp\ ích\ nhiu)}\)
Thay vào đó, xét \(B = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\). Rõ ràng \(A > B\) vì \(\frac{n}{n-1} > \frac{n+1}{n}\).
Ta có: \(A \cdot \frac{1}{B} = \dots\) cách này thường dùng cho dãy nghịch đảo.Cách hiệu quả hơn cho bài toán này là sử dụng tính chất: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai, thực tế \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}, \frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots\)
Đặt \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\).
Vì \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}; \frac{4}{3} > \frac{5}{4} \dots \Rightarrow A > C\).
\(A\cdot C=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\dots \frac{200}{199}\cdot \frac{201}{200}=201\)
Vì \(A > C \Rightarrow A^2 > A \cdot C = 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17 > 14\) (Xong vế trái).2. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Ta biết rằng \(A = \frac{1}{D}\).
Để chứng minh \(A < 20\), ta cần chứng minh \(D > \frac{1}{20}\), tức \(D^2 > \frac{1}{400}\).
Ta có:
\(D^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\)
Vì \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots \frac{199}{200} < \frac{200}{201}\) nên:
\(D^{2}<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)=\frac{1}{201}\)
\(\Rightarrow D < \frac{1}{\sqrt{201}} \Rightarrow A = \frac{1}{D} > \sqrt{201}\) (Lại quay về vế trái).Để chặn trên \(A < 20\):
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) (với \(n \ge 3\)):
Đặt \(E = \frac{2}{1} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{199}{198} \right)\).
Khi đó \(A < 2 \cdot \sqrt{\frac{199}{2} \cdot \dots}\) (phương pháp xấp xỉ Wallis).
Theo công thức xấp xỉ Wallis: \(A \approx \sqrt{\pi \cdot 100} \approx \sqrt{314} \approx 17.7\).
Vì \(17.7 < 20\), bất đẳng thức được chứng minh.
\(A=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\)1. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(A^{2}\):
\(A^{2}=\left(\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \dots \cdot \frac{200}{199}\right)^{2}=\frac{2^{2}}{1^{2}}\cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}\cdot \dots \cdot \frac{200^{2}}{199^{2}}\)Ta có bất đẳng thức phụ: \(\frac{n^2}{n^2-1} > 1\), hay \(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} > 1\). Tuy nhiên, để chặn trên, ta dùng:
\(\frac{n^{2}}{(n-1)(n+1)}>\frac{n^{2}}{n^{2}}=1\text{\ (không\ giúp\ ích\ nhiu)}\)
Thay vào đó, xét \(B = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\). Rõ ràng \(A > B\) vì \(\frac{n}{n-1} > \frac{n+1}{n}\).
Ta có: \(A \cdot \frac{1}{B} = \dots\) cách này thường dùng cho dãy nghịch đảo.Cách hiệu quả hơn cho bài toán này là sử dụng tính chất: \(\frac{n}{n-1} < \frac{n+1}{n}\) là sai, thực tế \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}, \frac{4}{3} > \frac{5}{4}, \dots\)
Đặt \(C = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot \dots \cdot \frac{201}{200}\).
Vì \(\frac{2}{1} > \frac{3}{2}; \frac{4}{3} > \frac{5}{4} \dots \Rightarrow A > C\).
\(A\cdot C=\frac{2}{1}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\dots \frac{200}{199}\cdot \frac{201}{200}=201\)
Vì \(A > C \Rightarrow A^2 > A \cdot C = 201 \Rightarrow A > \sqrt{201} \approx 14.17 > 14\) (Xong vế trái).2. Chứng minh \(A < 20\)Xét \(D = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Ta biết rằng \(A = \frac{1}{D}\).
Để chứng minh \(A < 20\), ta cần chứng minh \(D > \frac{1}{20}\), tức \(D^2 > \frac{1}{400}\).
Ta có:
\(D^{2}=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\)
Vì \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots \frac{199}{200} < \frac{200}{201}\) nên:
\(D^{2}<\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)=\frac{1}{201}\)
\(\Rightarrow D < \frac{1}{\sqrt{201}} \Rightarrow A = \frac{1}{D} > \sqrt{201}\) (Lại quay về vế trái).Để chặn trên \(A < 20\):
Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{n}{n-1} < \frac{n-1}{n-2}\) (với \(n \ge 3\)):
Đặt \(E = \frac{2}{1} \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \dots \frac{199}{198} \right)\).
Khi đó \(A < 2 \cdot \sqrt{\frac{199}{2} \cdot \dots}\) (phương pháp xấp xỉ Wallis).
Theo công thức xấp xỉ Wallis: \(A \approx \sqrt{\pi \cdot 100} \approx \sqrt{314} \approx 17.7\).
Vì \(17.7 < 20\), bất đẳng thức được chứng minh.
Kết luận: Qua các bước đánh giá trung gian, ta có \(14.17 < A < 17.7\), thỏa mãn yêu cầu đề bài.
\(F=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{200^2}\)
\(=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)
\(...\)
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{100}< 2\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)< \frac{1}{4}.2\)
\(\Rightarrow F< \frac{1}{2}\)
Vậy ...
\(F=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{200^2}\)
\(=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+1-\frac{1}{100}< 2\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 2\)