Ta có G là trọng tâm tam giác ABC (BG=2BD/3 ; CG=2CG/3):

⇒ BD+CE= 3(BG+CG)/2 (1)

   Xét tam giác BGC (trong một tam giác thì tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại):

⇒ BG+CG > BC               (2)

    Từ (1) và (2), ta suy ra: BD+CE >3BC/2 ⇔ BD+CE > 12 (cm)

Bài 1: 

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔGBC có 

I là trung điểm của GB

K là trung điểm của GC

Do đó: IK là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: IK//BC và \(IK=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra DE//IK và DE=IK

DG+EG=1/3BD+1/3CE=2/3BD=BG>1/2BC

Xét tam giác ABC : BD-đường trung tuyến 

                               CE-đường trung tuyến

                               BD cắt CE tại G

=> G - trọng tâm tam giác ABC.

=> BG=2/3 BD

=>CE=2/3 CE

Xét tam giác BGC 

=> BG+CG > BC ( BĐT trong tam giác)

=>2/3 BD +2/3 CE > BC

=> 2/3 (BD+CE ) > BC

Thay số : BC=8 cm ta đc :

2/3(BD+CE) > 8cm

=> 3/2 . 2/3 (BD+CE)> 3/2 . 8cm

=> BD+CE > 12cm

a: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường trung tuyến

BD cắt CE tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\frac23BD;CG=\frac23CE\)

mà BD=CE

nên BG=CG

ta có: BG+GD=BD

CG+GE=CE

mà BG=CG và BD=CE
nên GD=GE

b: Xét ΔGEB và ΔGDC có

GE=GD

\(\hat{EGB}=\hat{DGC}\) (hai góc đối đỉnh)

GB=GC

Do đó: ΔGEB=ΔGDC

=>EB=DC

mà AB=2EB và AC=2DC
nên AB=AC

=>ΔABC cân tại A