* Cách dựng

- Dựng A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn

- Dựng đường thẳng x là trung trực của A’B

- Gọi giao điểm của đường thẳng x và đường tròn (O) là D

- Dựng đường kính COD

* Chứng minh

Ta có: OA = OA’ và OD = OC

Suy ra tứ giác ACA’D là hình bình hành

Suy ra: AC = A’D

Lại có: A’D = BD (tính chất đường trung trực)

Suy ra: AC = BD

Biện luận :

Tùy theo số giao điểm của d và đường tròn (O) là 2, 1, 0 mà bài toán có 2, 1, 0 nghiệm hình.

(Trên hình 89, bài toán có 2 nghiệm hình)

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC và OA là phân giác của góc BOC

ΔOBC cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥BC tại A

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại B

=>BC⊥BD

mà OA⊥BC

nên OA//BD

b: Xét (O) có

MB,ME là các tiếp tuyến

Do đó: MB=ME và OM là phân giác của góc BOE

Xét (O) có

NE,NC là các tiếp tuyến

Do đó: NE=NC và ON là phân giác của góc EOC

Xét ΔBAO vuông tại B có cos BOA=\(\frac{OB}{OA}=\frac12\)

nên \(\hat{BOA}=60^0\)

OA là phân giác của góc BOC

=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{BOA}=2\cdot60^0=120^0\)

ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(BA=R\sqrt3\)

OM là phân giác của góc BOE

=>\(\hat{BOE}=2\cdot\hat{MOE}\)

ON là phân giác của góc COE

=>\(\hat{COE}=2\cdot\hat{EON}\)

Ta có: \(\hat{BOE}+\hat{COE}=\hat{BOC}\)

=>\(\hat{BOC}=2\left(\hat{MOE}+\hat{NOE}\right)=2\cdot\hat{MON}\)

=>\(\hat{MON}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Chu vi tam giác AMN là:

AM+MN+AN

=AM+ME+AN+NE

=AM+MB+AN+NC

=AB+AC

=2AB

\(=2R\sqrt3\)

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại B

=>BC⊥BD

mà OA⊥BC

nên OA//BD

c: Gọi H là giao điểm của BC và OA

OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(OA^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>OA=10(cm)

Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot OA=BO\cdot BA\)

=>\(BH=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

H là trung điểm của BC

=>\(BC=2\cdot BH=9,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

* Phân tích

Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán

Ta có: AB ⊥ OB ⇒  ∠ ABO = 90 °

AC ⊥ OC ⇒  ∠ ACO =  90 °

Tam giác ABO có  ∠ ABO =  90 ° nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có  ∠ ACO = 90o nội tiếp trong đường tròn đường kính AO.

Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn (O).

* Cách dựng

- Dựng I là trung điểm của OA

- Dựng đường tròn (I; IO) cắt đường tròn (O) tại B và C

- Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng

* Chứng minh

Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên:  ∠ ABO =  90 °

Suy ra: AB ⊥ OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên:  ∠ ACO =  90 °

Suy ra: AC ⊥ OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

* Biện luận

Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

a

Theo giả thiết có:

`AB=AC`

`OB=OC`

=> AO là đường trung trực của đoạn BC

=> AO⊥BC

b

Ta có:

`OB=OC=R`

Gọi điểm giao nhau của BC và OA là H có:

`HB=HC`

Từ trên suy ra: HO là đường trung bình của ΔCDB

=> HO//BD

=> OA//BD (H nằm trên đoạn OA)

c

AB là tiếp tuyến đường tròn.

=> OB⊥AB

Lại có: BH⊥OA (cmt)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OAB vuông tại B, đường cao BH có:

\(\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{OB^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{8^2}+\dfrac{1}{6^2}\\ \Rightarrow BH=\sqrt{1:\left(\dfrac{1}{8^2}+\dfrac{1}{6^2}\right)}=\dfrac{24}{5}=4,8\left(cm\right)\)

\(BC=2BH\left(BH=HC\right)\\ \Rightarrow BC=2.4,8=9,6\left(cm\right)\)

Trong tam giác ACD, ta có :

B là trung điểm của AC (gt)

O là trung điểm của CD

Nên OB là đường trung bình của ∆ACD

Suy ra : OB = (1/2).AD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy AD = 2.OB = 2.2 = 4 (cm)

AB vuông góc OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tương tự, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)