Đặt \(k^2=n^2+31n+1984\) (k thuộc N)

Ta có \(n^2+30n+225< n^2+31n+1984< n^2+90n+2025\)

\(\Rightarrow\left(n+15\right)^2< k^2< \left(n+45\right)^2\)

Xét k² trong khoảng trên được n = 565 và n = 1728 thỏa mãn đề bài.

Cho mình hỏi tại sao lại xét \(k^2\) nằm trong hai khoảng đó vâỵ ạ. Ta

có thể thay thế \(n^2+90n+2025\) bằng một biểu thức khác được không và tại sao ạ ?

Mong sớm nhận được phản hồi ạ. mình cảm ơn

Câu hỏi của Nguyễn Chí Nhân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo link này nhé!

\(n^2+2n+30\) là số chính phương

=>\(n^2+2n+30=k^2\left(k\in N\right)\)

=>\(n^2+2n+1-k^2=-29\)

=>\(\left(n+1\right)^2-k^2=-29\)

=>(n+1-k)(n+1+k)=-29

=>(n+1-k;n+1+k)∈{(1;-29);(-29;1);(-1;29);(29;-1)}

TH1: n+1-k=1 và n+1+k=-29

=>n+1-k+n+1+k=1-29

=>2n+2=-28

=>2n=-30

=>n=-15(loại)

TH2: n+1-k=-29 và n+1+k=1

=>n+1-k+n+1+k=1-29

=>2n+2=-28

=>2n=-30

=>n=-15(loại)

TH3: n+1-k=-1 và n+1+k=29

=>n+1-k+n+1+k=-1+29

=>2n+2=28

=>2n=26

=>n=13(nhận)

TH4: n+1-k=29 và n+1+k=-1

=>n+1-k+n+1+k=-1+29

=>2n+2=28

=>2n=26

=>n=13(nhận)

Đặt \(A=n^2-4n+7\) .

1. Với n = 0 => A = 7 không là số chính phương (loại)

2. Với n = 1 => A = 4 là số chính phương (nhận)

3. Với n > 1 , ta xét khoảng sau : \(n^2-4n+4< n^2-4n+7< n^2\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)^2< A< n^2\)

Vì A là số tự nhiên nên  \(A=\left(n-1\right)^2\Leftrightarrow n^2-4n+7=n^2-2n+1\Leftrightarrow2n=6\Leftrightarrow n=3\)

Thử lại, n = 3 => A = 4 là một số chính phương.

Vậy : n = 1 và n = 3 thoả mãn đề bài .