2x - 7y - 5 = 0 và 3x + 4y - 22 = 0

Hoc24 lại cứ thách đố học sinh 

MAX hại não với một học sinh lớp 7.

BC: 2x-3y-5=0

=>vecto pháp tuyến của BC là: \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(2;-3\right)\)

AB: x+y+1=0

=>vecto pháp tuyến của AB là: \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;1\right)\)

Gọi vecto pháp tuyến của AC là \(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(a;b\right)\)

\(\cos(AB, BC) = \frac{\vert{}\vec{n}_{AB} \cdot \vec{n}_{BC}\vert{}}{\vert{}\vec{n}_{AB}\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}_{BC}\vert{}} = \frac{\vert{}1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3)\vert{}}{\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{\vert{}-1\vert{}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\)

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

=>cos(AB;BC)=cos(AC;CB)

=>\(\frac{\vert{}2a - 3b\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\)

=>\(\frac{\vert{}2a - 3b\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

=>\(2(2a - 3b)^2 = a^2 + b^2\)

=>\(2(4a^2-12ab+9b^2)=a^2+b^2\)

=>\(8a^2-24ab+18b^2=a^2+b^2\)

=>\(7a^2-24ab+17b^2=0\)

=>(a-b)(7a-17b)=0

TH1: a-b=0

=>a=b

Chọn a=1

=>b=a=1

=>vecto pháp tuyến của AC là \(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(1;1\right)\)

Phương trình AC là:

1(x-1)+1(y-1)=0

=>x-1+y-1=0

=>x+y-2=0

mà AB: x+y+1=0

nên AB//AC

=>Loại

TH2: 7a-17b=0

=>7a=17b

=>a=17; b=7

=>\(\overrightarrow{n_{AC}}=\left(17;7\right)\)

Phương trình AC là:

17(x-1)+7(y-1)=0

=>17x-17+7y-7=0

=>17x+7y-24=0

1.

A có tọa độ là nghiệm hệ:

 \(\left\{{}\begin{matrix}3x-4y+6=0\\5x+12y-25=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{15}{8}\end{matrix}\right.\Rightarrow A=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{8}\right)\)

Tương tự \(B=\left(-2;0\right);C=\left(5;0\right)\)

Phương trình phân giác góc A:

\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{3x-4y+6}{5}=\dfrac{5x+12y-25}{13}\\\dfrac{3x-4y+6}{5}=-\dfrac{5x+12y-25}{13}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta_1:2x-16y+29=0\\\Delta_2:64x+8y-47=0\end{matrix}\right.\)

Ta thấy \(B,C\) khác phía so với \(\Delta_2\) nên \(\Delta_2:64x+8y-47=0\) là phân giác trong góc \(A\)

Tương tự ta tìm được phương trình đường phân giác trong góc B

ta có pt đường cao kẻ từ B:(d1) x+3y-5=0 
vì AC _|_ (d1) và AC đi qua C(-1; -2) 
=> pt AC: 3(x+1) -(y+2) =0 
<=> 3x -y + 1=0 
ta có A là giao điểm của AC và đg trung tuyến (d2) kẻ từ A 
=> A là nghiệm của hệ: 
{ 5x+y-9=0 
{ 3x -y + 1=0 
<=> 
x=1 ; y=4 
=> A( 1;4) 

Vì B ∈ (d1) => B(5- 3y; y) 
gọi I là trung điểm BC => I ∈ (d2) 
Vì I là trung điểm BC 
=> 
{ 2xI = xB + xC 
{ 2yI = yB + yC 
<=> 
{ xI= (5-3y-1)/2 = (4-3y)/2 
{ yI= (y -2)/2 

Vì I ∈ (d2) 
=> 5(4-3y)/2 + (y -2)/2 -9 =0 
<=> y= 0 
=> B( 5; 0) 
Vậy A( 1;4) và B( 5; 0)

Ta có pt đường cao kẻ từ B: (d1) x+3y-5=0
Vì AC _|_ (d1) và AC đi qua C(-1; -2)
=> pt AC: 3(x+1) -(y+2) =0
<=> 3x -y + 1=0
Ta có A là giao điểm của AC và đường trung tuyến (d2) kẻ từ A
=> A là nghiệm của hệ:
{ 5x+y-9=0
{ 3x -y + 1=0
<=>
x=1 ; y=4
=> A( 1;4)

Vì B ∈ (d1) => B(5- 3y; y)
Gọi I là trung điểm BC => I ∈ (d2)
Vì I là trung điểm BC
=>
{ 2xI = xB + xC
{ 2yI = yB + yC
<=>
{ xI= (5-3y-1)/2 = (4-3y)/2
{ yI= (y -2)/2

Vì I ∈ (d2)
=> 5(4-3y)/2 + (y -2)/2 -9 =0
<=> y= 0
=> B( 5; 0)
Vậy A( 1;4) và B( 5; 0)

Do \(C\in AC\Rightarrow C\left(a;2-a\right)\)

Do M là trung điểm BC nên \(\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_M-x_C=-2-a\\y_B=2y_M-y_C=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-2-a;a\right)\)

Do \(B\in AB\Rightarrow2x_B+6y_B+3=0\)

\(\Rightarrow2\left(-2-a\right)+6a+3=0\Rightarrow4a=1\Rightarrow a=\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow C\left(\frac{1}{4};\frac{7}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MC}=\left(\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\) chọn \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(3;-5\right)\) là 1 vtpt của BC

\(\Rightarrow\) Phương trình BC:

\(3\left(x+1\right)-5\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x-5y+8=0\)

Hình như không đủ dữ kiện

Bài trên là phương trình AB nha, ko phải AC

ta có tọa độ B là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow B\left(2;-1\right)}\)

Từ I kẻ d' qua I và song song với BC khi đó \(d':x=-7\)

Khi đó d' cắt AC tại điểm K có tọa độ là \(\hept{\begin{cases}x=-7\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow}K\left(-7;5\right)\), gọi H là trung điểm của BC

khi đó điểm A thuộc trung trực của KI là đường thẳng AH: \(y=1\)Do đó tọa độ A là : \(A\left(-1;1\right)\)

Do đó đường cao từ C có VTPT \(IA=\left(6,4\right)\)nên đường cao từ C là : \(3x+2y-4=0\)