a: Xét ΔAOB và ΔCOD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔAOB\(\sim\)ΔCOD

Suy ra: OA/OC=OB/OD

hay \(OA\cdot OD=OB\cdot OC\)

b: Xét ΔADC có MO//DC

nên MO/DC=AM/AD(1)

Xét ΔBDC có ON//DC

nên ON/DC=BN/BC(2)

Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD
nên AM/AD=BN/BC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OM=ON

hay O là trung điểm của MN

a: Ta có: \(\hat{BAD}+\hat{ADC}=100^0+80^0=180^0\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí trong cùng phía

nên AB//CD
=>ABCD là hình thang

Xét hình thang ABCD có \(\hat{A}=\hat{B}\left(=100^0\right)\)

nên ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{BCD}=\hat{ADC}=80^0\)

b: Xét hình thang ABCD có

E,F lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>EF là đường trung bình của hình thang ABCD

=>\(EF=\frac{AB+CD}{2}=\frac{20+30}{2}=25\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: xét ΔBAD và ΔABC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

Do đó: ΔBAD=ΔABC

Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

DC chung

AC=BD

Do đó: ΔADC=ΔBCD

d: ABCD là hình thang cân

=>AD=BC

=>BC=20(cm)

A B C D O

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(OA+OB>AB\)

\(OB+OC>BC\)

\(OC+OD>DC\)

\(OD+OA>AD\)

Cộng vế theo vế thì \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CA+AD\)

\(\Rightarrow OA+OB+OC+OD>\frac{AB+BC+CA+AD}{2}\) ( 1 )

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(AB+BC>CA;BC+CD>BD;CD+DA>CA;DA+AB>BD\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(2\left(AB+BC+CD+AD\right)>2\left(CA+BD\right)=2\left(AO+OC+OD+OB\right)\)

\(\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>OA+OB+OC+OD\) ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) suy ra đpcm.

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: FE//AC và FE=AC/2(1)

Xét ΔCDA có

G là trung điểm của CD

H là trung điểm của DA

Do đó: GH là đường trung bình của ΔCDA
Suy ra: GH//CA và GH=CA/2(2)

TỪ (1) và (2) suy ra EF//GH và EF=GH

hay EFGH là hinh bình hành

A B C D O

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

• Xét lần lượt các tam giác OAB , OBC , OCD , OAD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được : 

\(OA+OB>AB\) ; \(OB+OC>BC\) ; \(OC+OD>CD\) ; \(OA+OD>AD\)

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(OA+OB+OC+OD\right)>AB+BC+CD+AD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\) \(\Rightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) (1)

• Tương tự, lần lượt xét các tam giác ACD , BCD , BAC , ABD và áp dụng bất đẳng thức tam giác được : 

\(AD+CD>AC\) ; \(BC+CD>BD\) ; \(AB+BC>AC\) ; \(AB+AD>BD\)

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế được : \(2\left(AC+BD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Rightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)(2)

Từ (1) và (2) ta có : \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+AD\)

hay \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+AD\)

ve hin hra roi nghi cach cm 

a: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Ta có: \(ON=NB=\frac{OB}{2}\)

\(OM=MD=\frac{OD}{2}\)

mà OB=OD

nên ON=NB=OM=MD

ON=OM

=>O là trung điểm của NM

Xét tứ giác AMCN có

O là trung điểm chung của AC và MN

=>AMCN là hình bình hành

b: AMCN là hình bình hành

=>AM//CN

=>AE//CF

ABCD là hình bình hành

=>AB//CD

=>AF//CE

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AF//CE

Do đó: AECF là hình bình hành

c: AECF là hình bình hành

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của EF

=>E đối xứng F qua O

d: Qua O, kẻ OI//AE(I∈EC)

Xét ΔAEC có

O là trung điểm của CA

OI//AE
Do đó: I là trung điểm của CE

=>CI=IE(1)

Xét ΔDOI có

M là trung điểm của DO

ME//OI

Do đó: E là trung điểm của DI

=>DE=EI(2)

Từ (1),(2) suy ra DE=EI=IC

=>\(DE=\frac{EI+IC}{2}=\frac{EC}{2}\)

=>EC=2ED

a, do ABCD là hình chữ nhật nên 2 đường chéo AC và BD sẽ cắt nhau tại trung điểm O mỗi đườn

\(=>OA=OB=OC=OD\)

=>A,B,C,D cách đều O nên A,B,C,D nằm trên (O) đường kính AC

b,do M,N,P,Q là trung điểm OA,OB,OC,OD

mà \(OA=OB=OC=OD\left(cmt\right)\)

\(=>OM=ON=OQ=OP\)

4 điểm M,N,P,Q nằm trên (O) đường kính MP