a) Vì abcd chia hết cho 4 nên 10c + d chia hết cho 4

Mặt khác 10c + d = 8c + 2c + d

Vì 8c chia hết cho 4 nên 2c + d cũng chia hết cho 4
 

Xét biểu thức :

10x - y = 10(a + 4b) - (10a + b) = 10a + 40b - 10a - b = 39b.

Như vậy 10x - y  ⋮  13.

Do x  ⋮  13 nên 10x  ⋮  13. Suy ra y  ⋮  13.

Ta có:\(10a+b+3\left(a+4b\right)\)

\(=10a+b+3a+12b\)

\(=13a+13b\) chia hết cho 13

Mà 3(a+4b) chia hết cho 13 nên 10a+b chia hết cho 13

Câu 1:

(3x - 4) ⋮ 5

⇔ 2(3x - 4y) ⋮ 5

⇔ [6x - 8y + 5y] ⋮ 5

⇔ [6x - (5y - 4y)] ⋮ 5

⇔ [6x + 2y] ⋮ 5

⇔2[3x + y] ⋮ 5

2 không chia hết cho 5

Suy ra [3x + y] ⋮ 5 (đpcm)

2. CM: 2x+3y chia hết cho 17 <=> 9x+5y chia het cho 17.

(9x + 5y) ⋮ 17

⇔ 4(9x + 5y) ⋮ 17

⇔ (36x + 20y) ⋮ 17

⇔ (34x+ 2x + 17y + 3y) ⋮ 17

⇔ [(34x + 17y) + (2x + 3y)] ⋮ 17

⇔[17(2x + y) + (2x + 3y)] ⋮ 17

⇔ (2x + 3y) ⋮ 17 (đpcm)

                                Gọi (a+4b) là a,(10a+b) là b

Ta có:3a=3.(a+4b)=(3a+12b) chia hết cho 13

3a+b=(3a+12b+10a+b)=(13a+13b) chia hết cho 13

Mà (3a+12b) chia hết cho 13

=> (10a+b) chia hết cho 13

Ta có:

7a+2b chia hết cho 13

=> 2.(7a+2b) chia hết cho 13

=> 14a+2b chia hết cho 13

Mà 13a chia hết cho 13

=> (14a+2b)-13a chia hết cho 13

=> 10a+b chia hết cho 13

7a+2b chia hết cho 13

=>10(7a+2b) chia hết cho 13

=>70a+20b chia hết cho 13

=>70a+20b-13b chia hết cho 13

=>70a+7b chia hết cho 13

=>7(10a+b) chia hết cho 13

vì (7;13)=1=>10a+b chia hết cho 13

=>đpcm

a;     35 ⋮ \(x\) + 3 

      \(x+3\) \(\in\) Ư(35) = {-35; - 7; -5; -1; 1; 5; 7; 35}

Lập bảng ta có:

Theo bảng trên ta có:

\(x\in\) {-38; -10; -8; -4; -2; 2; 4; 32}

Kết luận: \(x\) {-38; -10; -8; -2; 2; 4; 32}

-

b; 10 ⋮ 2\(x\) + 1

   2\(x\) + 1 \(\in\) Ư(10) = {-10; -5; -2; -1; 1; 2; 5; 10}

Lập bảng ta có: 

Theo bảng trên ta có: \(x\in\) {-11/2; -3; -3/2; -1; 0; 3/2; 2; 11/2}

(2x + 3y) ⋮ 11

⇔ 10.(2x + 3y) ⋮ 11

⇔ (20x + 30y) ⋮ 11

⇔ (11x + 22y + 9x + 8y) ⋮ 11

⇔ (9x + 8y) ⋮ 11

Giả sử (9x + 3y) ⋮ 11 với mọi x, y thuộc N khi đó:

[9x + 8y - 9x - 5y] ⋮ 11

[(9x - 9x) + (8y - 5y)] ⋮ 11

[0 + 3y] ⋮ 11

3y ⋮ 11

y ⋮ 11

Vậy việc chứng minh (9x + 3y) ⋮ 11 với mọi x, y thuộc N là không thể