a)a=111...111-222...222

=1111...111-2*111...111(số bị trừ có 2n chữ số 1,số trừ có n chữ số 1)

=111...111*100..01-2*1111...111(số bị trừ có n chữ số 1 và số trừ cũng thế)

=111...111(100...01-2)

=111...111*999...99 ( n chữ số 1,n chữ số 9)

=(111...11*3)*333...33

=333...333*333...333(cả 2 thừa số đều có n chữ số 3)

• Mình chỉ biết làm câu a mà thôi.Thông cảm giúp mình nhé)

Đặt \(a = \underbrace{11\dots1}_{n \text{ chữ số 1}}\)

=>\(a=\frac{10^n - 1}{9}\)

\(\implies10^{n}=9a+1\)

\(b = \underbrace{11\dots1}_{n \text{ chữ số 1}}\underbrace{55\dots5}_{(n-1) \text{ chữ số 5}}6\)

=>\(b = \underbrace{11\dots1}_{n} \cdot 10^n + \underbrace{55\dots5}_{n-1} \cdot 10 + 6\)

=>\(b = a \cdot 10^n + (5a + 1)\)

=a(9a+1)+5a+1

\(=9a^2+a+5a+1=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2\)

=>b là số chính phương

Ta có:  111...1222..22 = 111...1 x 10¹⁰ + 222..2 = 111...1 x (9 x 111.11 + 1) + 2 x 111..1

Đặt 111..1 là a =>   111...1222..22 =  a.(9a + 1) +2a = 9a² + 3a   là số chính phương

Ta có :

11...1 555...5 6 (n chữ số 1; n -1 chữ số 5)

= 111…1 555…55 + 1 (n chữ số 1; n chữ số 5)

= 111…1 000…00 + 555….55 + 1 (n chữ số 1; n chữ số 0; n chữ số 5)

= 111….1 x 100…0 + 5.111…11 + 1 (n chữ số 1; n chữ số 0)

= 111…1 x (999…9 + 1) + 5.111…11 + 1

= 111…1 x 999…9 + 111…1 + 5.111…11 + 1

= (333…3)² + 6.111…1 + 1 (n chữ số 3)

= (333…3)² + 2.333…3.1 + 1

= (333…3 + 1)²

= 333…34² (n – 1 chữ số 3) là một số chính phương.    (đpcm)

A = 111...1000...0 + 111...1 - 222...2

     (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)  (n cs 2)

\(A=111...1\cdot10^n+111...1-222...2\)

        (n cs 1)                       ( n cs 1 )      ( n cs 2 )

Đặt   K = 111...1  ( n cs 1 )   => 9K + 1 = 10^n

=> A = K( 9k + 1 ) + K - 2K

        = 9K^2 + K + K - 2K

        = 9K^2   = (3K)^2     

=> A là một số chính phương

B = 111...1000...0 + 111...1 +  444...4 + 1

    (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)    (n cs 4)

\(\Rightarrow B=111...1\cdot10^n+111...1+444...4+1\)

                ( n cs 1 )                 ( n cs 1 )         ( n cs 4 )

Đặt   K = 111...1   ( n cs 1 )         => 9K + 1 = 10^n

=> B = K( 9K + 1 ) + K + 4K + 1

         = 9K^2 + 6K + 1

         = ( 3K + 1 ) ^2

=> B là một số chính phương