\(a,n^3-2n^2+3n+3=n^3-n^2-n^2+n+2n-2+5\\ =\left(n-1\right)\left(n^2-n+2\right)+5\\ \Leftrightarrow n^3-2n^2+3n+3⋮\left(n-1\right)\\ \Leftrightarrow5⋮n-1\\ \Leftrightarrow n-1\in\left\{-5;-1;1;5\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{-4;0;2;6\right\}\)

\(b,\Leftrightarrow x^4+6x^3+7x^2-6x+a\\ =x^4+3x^3-x^2+3x^3+9x^2-3x-x^2-3x+1-1+a\\ =\left(x^2+3x-1\right)\left(x^2+3x-1\right)-1+a\\ =\left(x^2+3x-1\right)^2+a-1\)

Để \(x^4+6x^3+7x^2-6x+a⋮x^2+3x-1\)

\(\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\)

\(P=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{6}+\dfrac{2n+1}{1-2n}\)

Vì n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2) là tích của 3 số liên tiếp

nên n^3+3n^2+2n chia hết cho 3!=6

=>Để P nguyên thì 2n+1/1-2n nguyên

=>2n+1 chia hết cho 1-2n

=>2n+1 chia hết cho 2n-1

=>2n-1+2 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(n\in\left\{1;0;\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{2}\right\}\)

Ở đây, ta có thực hiện đặt phép chia như câu 1 để tìm số dư và tìm điều kiện giá trị của n để thỏa mãn đề bài. Nhưng bài này ta làm cách biến đội như sau:

11:

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>(n+8)(n-8) chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc Ư(65)

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>n^2 thuộc {0;4;12;64}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;2;8}

Thử lại, ta sẽ thấy n=8 không thỏa mãn

=>\(n\in\left\{0;2\right\}\)

cảm on 

Bạn Tham Khảo:

a: \(A=n^2-4n+3\)

\(=n^2-n-3n+3\)

=n(n-1)-3(n-1)

=(n-1)(n-3)

Để A là số nguyên tố thì có hai trường hợp:

TH1: n-1=1 và n-3 là số nguyên tố

=>n=2 và 2-3=-1 là số nguyên tố(Sai)

=>Loại

TH2: n-3=1 và n-1 là số nguyên tố

=>n=1+3=4 và n-1 là số nguyên tố

=>n=4 và 4-1 là số nguyên tố

=>n=4 và 3 là số nguyên tố, Đúng

=>Nhận

Vậy: n=4

b: \(B=n^4+4\)

\(=n^4+4n^2+4-4n^2\)

\(=\left(n^2+2\right)^2-4n^2\)

\(=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)\)

TH1: \(\begin{cases}n^2-2n+2=1\\ n^2+2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n^2-2n+1=0\\ n^2+2n+2\in P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(n-1\right)^2=0\\ n^2+2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n=1\\ 1^2+2\cdot1+2\in P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}n=1\\ 5\in P\end{cases}\)

=>NHận

TH2: \(\begin{cases}n^2+2n+2=1\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n^2+2n+1=0\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(n+1\right)^2=0\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n=-1\left(loại\right)\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\)

=>Loại

Vậy: n=1