Giải chi tiết:

đầu tiên ta nhân chéo:

2009x2009=4.036.081        ta được phân số: \(\dfrac{4.036.081}{4.038.090}\)

2010x2009=4.038.090

rồi ta lại nhân chéo với phân số thứ :

2008x2010=4.036.080     ta được phân số:\(\dfrac{4.036.080}{4.038.090}\)

2009x2010=4.038.090

khi được phân số có mẫu số bằng nhau ta so sánh như bình thường với tử số:

          \(\dfrac{\text{4.036.081}}{4.038.090}\)     >     \(\dfrac{\text{4.036.080 }}{4.038.090}\)

Đặt biểu thức là A: 

\(A=-6.2009^2-2^2.2009=-6.2007.2009.2011\)

\(A=\frac{-6.2009}{2005.2010}\)

\(A=\frac{-2009}{2005.335}\)

P/s: Ko chắc

86887

Ta có công thức: \(1+n^2+\frac{n^2}{\left(n+1\right)^2}=\left(1+n-\frac{n}{n+1}\right)^2\)

Chứng minh công thức: \(\left(1+n-\frac{n}{n+1}\right)^2\)

\(=1^2+n^2+\frac{n^2}{\left(n+1\right)^2}+2n-\frac{2n}{n+1}-\frac{2n^2}{n+1}\)

\(=1+n^2+\frac{n^2-2n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)^2-2n\left(n+1\right)}{\left(n+1\right)^2}\)

\(=1+n^2+\frac{n^2-2n^3-2n^2+2n\left(n^2+2n+1\right)-2n^2-2n}{\left(n+1\right)^2}\)

\(=1+n^2+\frac{-2n^3-3n^2-2n+2n^3+4n^2+2n}{\left(n+1\right)^2}=1+n^2+\frac{n^2}{\left(n+1\right)^2}\)

\(A=\sqrt{1+2008^2+\frac{2008^2}{2009^2}}+\frac{2008}{2009}\)

\(=1+2008-\frac{2008}{2009}+\frac{2008}{2009}\)

=2009

=>A là số tự nhiên

`A=\sqrt{1+2008^2+2008^2/2009^2}+2008/2009`

`=\sqrt{1+2008^2+2.2008+2008^2/2009^2-2.2008}+2008/2009`

`=\sqrt{(2008+1)^2-2.2008+2008^2/2009^2}+2008/2009`

`=\sqrt{2009-2.2008/2009*2009+2008^2/2009^2}+2008/2009`

`=\sqrt{(2009-2008/2009)^2}+2008/2009`

`=|2009-2008/2009|+2008/2009`

`=2009-2008/2009+2008/2009`

`=2009` là 1 số tự nhiên

Đặt \(2008=a\)

\(\Leftrightarrow A=\sqrt{1+a^2+\dfrac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}\\ A=\sqrt{\left(a+1\right)^2-\dfrac{2a\left(a+1\right)}{a+1}+\dfrac{a^2}{\left(a+1\right)^2}}+\dfrac{a}{a+1}\\ A=\sqrt{\left(a+1-\dfrac{a}{a+1}\right)^2}+\dfrac{a}{a+1}\\ A=a+1-\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{a}{a+1}=a+1=2009\left(đpcm\right)\)

đặt tử là A,ta có:

2A=2(1+2+2²+2³+...+2²⁰⁰⁸)

2A=2*1+2*2+2*2²+...+2*2²⁰⁰⁸

2A=2+2²+2³+...+2²⁰⁰⁹

2A-A=(2+2²+2³+...+2²⁰⁰⁹)-(1+2+2²+...+2²⁰⁰⁸)

A=2²⁰⁰⁹-1

thay A vào tử số ta được \(B=\frac{2^{2009}-1}{1-2^{2009}}=-1\)