cho a, b thỏa: a+b=2
Tìm GTNN của A= \(a^2+b^2\)
GIÚP MÌNH NHA
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 10 2021
\(cos\left(2-ab\right)-cos\left(a+b\right)=a+b+ab-2\)
\(\Leftrightarrow cos\left(2-ab\right)+2-ab=cos\left(a+b\right)+a+b\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=cosx+x\)
\(f'\left(x\right)=-sinx+1\ge0;\forall x\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R
\(\Rightarrow2-ab=a+b\)
\(\Rightarrow2-a=b\left(a+1\right)\Rightarrow b=\dfrac{2-a}{a+1}=\dfrac{3}{a+1}-1\)
\(\Rightarrow P=a+\dfrac{6}{a+1}-2=a+1+\dfrac{6}{a+1}-3\ge2\sqrt{\dfrac{6\left(a+1\right)}{a+1}}-3=2\sqrt{6}-3\)
21 tháng 10 2016
\(A=a^6+b^6=\left(a^2+b^2\right).\left(a^4-a^2b^2+b^4\right)=a^4-a^2b^2+b^4\)
\(=\left(a^2+b^2\right)-3a^2b^2=1-3a^2b^2\)
ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow1\ge2ab\Rightarrow1\ge4a^2b^2\Rightarrow\frac{3}{4}\ge3a^2b^2\)
=> \(\frac{-3}{4}\le-3a^2b^2\)
từ đó: \(A=1-3a^2b^2\le1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Vậy max A = 1/4 khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}.\)
NQ
Nguyễn Quốc Đạt
CTVVIP
30 tháng 6
Ta có $(2a-1)^2+(2b-1)^2=2$
$\Leftrightarrow4a^2-4a+1+4b^2-4b+1=2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2-a-b=0.$
Suy ra $a^2+b^2=a+b.\hfill(1)$
Lại có $(a+b)^2\le2(a^2+b^2)=2(a+b).$
Đặt $t=a+b>0,$ từ đó $t^2\le2t\Leftrightarrow0<t\le2.$
Mặt khác $a^4+b^4\ge\dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}=\dfrac{t^2}{2}.$
Do đó $P=a^4+b^4+\dfrac{2020}{(a+b)^2}\ge\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{2020}{t^2}.$
Đặt $f(t)=\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{2020}{t^2},\qquad0<t\le2.$
Ta có $f'(t)=t-\dfrac{4040}{t^3}<0\quad(\forall\,0<t\le2).$
Vì vậy $f(t)$ giảm trên $(0,2]$, nên $f(t)\ge f(2).$
Suy ra $P\ge\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{2020}{2^2}=2+505=507.$
Dấu ``='' xảy ra khi $a=b,\qquad a+b=2.$
Suy ra $a=b=1.$
Kiểm tra: $(2\cdot1-1)^2+(2\cdot1-1)^2=1+1=2.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $507.$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : \(4=\left(1.a+1.b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)=2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2\). Dấu "=" xảy ra khi a = b
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại a = b =1
cảm ơn bạn