a, Để \(\dfrac{n+1}{n-2}\) có giá trị là một số nguyên thì n + 1 ⋮ n - 2

=> (n - 2) + 3 ⋮ n - 2

 Vì (n - 2) ⋮ n - 2 nên 3 ⋮ n - 2

=> n - 2 ∈ Ư(3) ∈ {-3;-1;1;3}

 => n ∈ {-1;1;3;5}

b, Để \(\dfrac{4n+5}{2n-1}\) có giá trị là một số nguyên thì 4n + 5 ⋮ 2n - 1

=> (4n - 2) + 7 ⋮ 2n - 1

=> 2(2n - 1) + 7 ⋮ 2n - 1

 Vì 2(2n - 1) ⋮ 2n -1 nên 7 ⋮ 2n - 1

=> 2n - 1 ∈ Ư(7) ∈ {-7;-1;1;7}

=> n ∈ {-3;0;1;4}

1/ A=(n+5)/(n+2)=(n+2+3)/(n+2)=1+3/(n+2)

Để A nguyên thì 3 phải chia hết cho n+2 => n+2={-3; -1; 1; 3}

=> n={-5; -3; -1; 1}

2/ B có tổng là 20 số hạng. Nhóm 2 số hạng liên tiếp của B với nhau ta được 10 nhóm như sau:

B=(10+10²)+(10³+10⁴)+...+(10¹⁹+10²⁰)

=10(1+10)+10³(1+10)+...+10¹⁹(1+10)=11.(10+10³+10⁵+...+10¹⁹)

=> B chia hết cho 11

Để A nguyên => n + 3 \(⋮\) n + 2                      => ( n + 2 ) + 1 \(⋮\) n + 2                    Mà :  n + 2  \(⋮\) n + 2                            =>   1  \(⋮\) n + 2                            =>  n + 2 \(\in\) Ư(1) = 1   Ta có :  n + 2 = 1                  n     = - 1  Vậy n = -1 thì A nguyên 

Ta có: n+3/n+2 = n+2+1/n+2 = n+2/n+2 +1/n+2 Mà n+2/n+2 là số nguyên => 1/n+2 là số nguyên

Hay n+2 thuộc Ư(1)={1,-1}

Ta có bảng sau

Vậy n thuộc {-3,-1}

a: \(A=n^2-4n+3\)

\(=n^2-n-3n+3\)

=n(n-1)-3(n-1)

=(n-1)(n-3)

Để A là số nguyên tố thì có hai trường hợp:

TH1: n-1=1 và n-3 là số nguyên tố

=>n=2 và 2-3=-1 là số nguyên tố(Sai)

=>Loại

TH2: n-3=1 và n-1 là số nguyên tố

=>n=1+3=4 và n-1 là số nguyên tố

=>n=4 và 4-1 là số nguyên tố

=>n=4 và 3 là số nguyên tố, Đúng

=>Nhận

Vậy: n=4

b: \(B=n^4+4\)

\(=n^4+4n^2+4-4n^2\)

\(=\left(n^2+2\right)^2-4n^2\)

\(=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)\)

TH1: \(\begin{cases}n^2-2n+2=1\\ n^2+2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n^2-2n+1=0\\ n^2+2n+2\in P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(n-1\right)^2=0\\ n^2+2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n=1\\ 1^2+2\cdot1+2\in P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}n=1\\ 5\in P\end{cases}\)

=>NHận

TH2: \(\begin{cases}n^2+2n+2=1\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n^2+2n+1=0\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(n+1\right)^2=0\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}n=-1\left(loại\right)\\ n^2-2n+2\in P\end{cases}\)

=>Loại

Vậy: n=1

\(\frac{8n+193}{4n+3}\Leftrightarrow8n+193⋮4n+3\)

\(\Rightarrow8n+6+187⋮4n+3\)

\(\Rightarrow187⋮4n+3\)

\(\Rightarrow4n+3\inƯ\left(187\right)=\left\{\pm1;\pm187\right\}\)

\(\Rightarrow4n+3=1;-1;187;-187\)

\(\Rightarrow4n=-2;-4;184;-190\)

\(\Rightarrow n=\frac{-2}{4};-1;46;\frac{-190}{4}\)

vì \(n\in Z\) 

\(\Rightarrow n=-1;46\)