a: Gọi M là trung điểm của BC

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=a\)

ΔAHM vuông tại H

=>AH<=AM

=>DE<=AM

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

=>H là trung điểm của BC

Vậy; \(DE_{\max}=AM=a\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\)

=>\(AD=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(S_{ADHE}=AD\cdot AE=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{AH^3}{2a}\)

=>\(S_{ADHE}\) lớn nhất khi AH lớn nhất

mà AH<=a

nên \(S_{ADHE\left(max\right)}=\frac{a^3}{2a}=\frac{a^2}{2}\)

Tam giác ABC vuông tại A áp dụng đính lý cạnh góc vuông và hình chiếu ta có::

\(AB^2=BC\cdot HB=BC\cdot\left(BC-HC\right)\)

\(\Rightarrow20^2=BC^2-BC\cdot9\)

\(\Rightarrow BC^2-9BC-400=0\)

\(\Rightarrow BC^2+16BC-25BC-400=0\)

\(\Rightarrow BC\left(BC+16\right)-25\left(BC+16\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(BC+16\right)\left(BC-25\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}BC+16=0\\BC-25=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}BC=-16\left(ktm\right)\\BC=25\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức đường cao và hình chiếu ta có:

\(AH^2=HC\cdot HB\Rightarrow AH=\sqrt{HC\cdot\left(BC-HC\right)}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{9\cdot\left(25-9\right)}=12\left(cm\right)\)

Diện tích của tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AH=\dfrac{1}{2}\cdot25\cdot12=150\left(cm^2\right)\)

a: BC=15cm

AM=7,5cm

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)

=>AH=6(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\)

=>\(AN=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>\(S_{AMHN}=AM\cdot AN=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}\)

\(=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{6^3}{a}=\frac{216}{a}\)

Gọi O là trung điểm của BC

=>AH<=AO

ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên BC=2AO

=>BC=2AO>=2AH

Để AMHN có diện tích lớn nhất thì BC nhỏ nhất nhất

mà BC=2AO>=2AH=12(cm)

nên BC=12(cm)

=>\(S_{AMHN}=\frac{216}{12}=18\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A

Ta có:

Vậy S A B C   =   1 2 A B . A C   =   1 2 . 2 13   . 3 13 =   39 c m 2

Chọn đáp án A.

Đáp án A.

Giả sử cạnh góc vuông có độ dài bằng X x 0 < x < a .

Suy ra độ dài cạnh huyền là a - x .

Độ dài cạnh góc vuông còn lại là a - x 2 - x 2 = a 2 - 2 a x .

Diện tích tam giác vuông đó được tính bằng công thức S = 1 2 x . a 2 - 2 a x .

S = 1 2 a . a x . a x . a 2 - 2 a x ≤ 1 2 a . a x + a x + a 2 - 2 a x 3 3 = 1 2 a . a 6 27 = a 2 3 18 .

Dấu bằng xảy ra khi a x = a 2 - 2 a x ⇔ x = a 3 .