Giống mình làm

Bài 1:

a: Xét ΔABC có BC^2=AB^2+AC^2

nên ΔABC vuông tại A

b: Vì AB<AC<BC

nên góc C<góc B<góc A

a: A(3;1); B(-1;-1); C(6;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-3;-1-1\right)=\left(-4;-2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(6-3;0-1\right)=\left(3;-1\right)\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-4\right)\cdot3-\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)=-12-2=-14\)

b: \(cosBAC=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AC}\right|}\)

\(=\frac{-14}{\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2}\cdot\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{-14}{\sqrt{20\cdot10}}=-\frac{14}{\sqrt{200}}=\frac{-14}{10\sqrt2}=\frac{-7}{5\sqrt2}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\frac{49}{50}}=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{1}{5\sqrt2}\)

\(AB=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5\)

\(AC=\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{10}\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{1}{5\sqrt2}=\frac{\sqrt{50}}{5\sqrt2}=1\)

c: H là trực tâm của ΔABC

=>BH⊥AC và CH⊥AB

H(x;y); B(-1;-1); C(6;0)

=>\(\overrightarrow{BH}=\left(x+1;y+1\right);\overrightarrow{CH}=\left(x-6;y-0\right)=\left(x-6;y\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;-2\right);\overrightarrow{AC}=\left(3;-1\right)\)

BH⊥AC nên \(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>3(x+1)+(-1)(y+1)=0

=>3x+3-y-1=0

=>3x-y+2=0

=>y=3x+2

CH⊥AB nên \(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)

=>-4(x-6)+(-2)y=0

=>-4x+24-2y=0

=>-4x-2y+24=0

=>-2x-y+12=0

=>-2x-3x-2+12=0

=>-5x+10=0

=>-5x=-10

=>x=2

=>y=3x+2=8

=>H(2;8)

d: Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(3-1+6\right)=\frac13\cdot8=\frac83\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(1-1+0\right)=0\end{cases}\)

=>G(8/3;0)

b) Độ dài đoạn thẳng AB là:

\(AB=\sqrt{\left(2-2\right)^2+\left(4+1\right)^2}=5\)

Độ dài đoạn thẳng AC là:

\(AC=\sqrt{\left(2+4\right)^2+\left(4+1\right)^2}=\sqrt{61}\)

Độ dài đoạn thẳng BC là:

\(BC=\sqrt{\left(2+4\right)^2+\left(-1+1\right)^2}=6\)

Ta có: \(BA^2+BC^2=5^2+6^2=25+36=61\)

\(AC^2=\left(\sqrt{61}\right)^2=61\)

Do đó: \(AC^2=BA^2+BC^2\)(=61)

Xét ΔABC có \(AC^2=BA^2+BC^2\)(cmt)

nên ΔABC vuông tại B(Định lí Pytago đảo)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{BA\cdot BC}{2}=\dfrac{5\cdot6}{2}=\dfrac{30}{2}=15\left(cm^2\right)\)

Học tốt :D

Tọa độ điểm C:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_I-x_A-x_B=1\\y_C=3y_I-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow C\left(1;-4\right)\)

Ta có: 

\(\overrightarrow{AH}=\left(a-3;b+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}=\left(a+1;b-2\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;-6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;-3\right)\)

Theo giả thiết 

\(AH\perp BC\Rightarrow2\left(a-3\right)-6\left(b+1\right)=0\Leftrightarrow a-3b=6\left(1\right)\)

\(BH\perp AC\Rightarrow-2\left(a+1\right)-3\left(b-2\right)=0\Leftrightarrow2a+3b=4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{10}{3}\\b=-\dfrac{8}{9}\end{matrix}\right.\Rightarrow a+3b=\dfrac{2}{3}\)

Lời giải:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0$ 

$\Rightarrow \widehat{A}=180^0-\widehat{B}-\widehat{C}=180^0-45^0-45^0=90^0$

$\Rightarrow$ tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Mà $\widehat{B}=\widehat{C}$ nên $ABC$ là tam giác vuông cân ở A

a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)

\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)

\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)

b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)

c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>-6(x+2)+2(y+1)=0

=>-3(x+2)+y+1=0

=>-3x-6+y+1=0

=>y-3x-5=0

=>y=3x+5

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

=>x+6y=23

=>x+6(3x+5)=23

=>x+18x+30=23

=>19x=-7

=>x=-7/19

=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)

=>H(-7/19;74/19)

d: AH⊥BC

nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-6;1)

Phương trình BC là:

-6(x+2)+1(y+1)=0

=>-6x-12+y+1=0

=>-6x+y-11=0

=>y=6x+11

x+6y-23=0

=>x+6(6x+11)-23=0

=>x+36x+66-23=0

=>37x=-43

=>\(x=-\frac{43}{37}\)

=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)

=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)

e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)

\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)

a: A(5;3); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-5;-1-3\right)=\left(-7;-4\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1+2;5+1\right)=\left(1;6\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-1-5;5-3\right)=\left(-6;2\right)\)

\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7+2\cdot1;-4+2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-5;8\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}+2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{AC}=\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)+2\cdot8=30+16=46\)

\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-7-2\cdot1;-4-2\cdot6\right)\)

=>\(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9;-16\right)\)

=>\(\left(\overrightarrow{AB}-2\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-9\right)\cdot1+\left(-16\right)\cdot6=-9-96=-105\)

b: Tọa độ trọng tâm của ΔABC là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(5-2-1\right)=\frac23\\ y_{G}=\frac13\cdot\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\cdot\left(3-1+5\right)=\frac13\cdot7=\frac73\end{cases}\)

c: Gọi H(x;y) là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(5;3); H(x;y); B(-2;-1); C(-1;5)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right);\overrightarrow{BH}=\left(x+2;y+1\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>-6(x+2)+2(y+1)=0

=>-3(x+2)+y+1=0

=>-3x-6+y+1=0

=>y-3x-5=0

=>y=3x+5

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right);\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

=>x+6y=23

=>x+6(3x+5)=23

=>x+18x+30=23

=>19x=-7

=>x=-7/19

=>\(y=3x+5=3\cdot\frac{-7}{19}+5=-\frac{21}{19}+5=\frac{-21+95}{19}=\frac{74}{19}\)

=>H(-7/19;74/19)

d: AH⊥BC

nên AH sẽ đi qua A và AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường cao AH là:

1(x-5)+6(y-3)=0

=>x-5+6y-18=0

=>x+6y-23=0

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;6\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (-6;1)

Phương trình BC là:

-6(x+2)+1(y+1)=0

=>-6x-12+y+1=0

=>-6x+y-11=0

=>y=6x+11

x+6y-23=0

=>x+6(6x+11)-23=0

=>x+36x+66-23=0

=>37x=-43

=>\(x=-\frac{43}{37}\)

=>\(y=6x+11=6\cdot\frac{-43}{37}+11=\frac{149}{37}\)

=>Tọa độ chân đường cao kẻ từ A xuống BC là K(-43/37;149/37)

e: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\)

\(BC=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}\)

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosBAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{65+40-37}{2\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}}=\frac{68}{4\sqrt{650}}=\frac{17}{\sqrt{650}}\)

=>\(\sin BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{\sqrt{650}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{289}{650}}=\sqrt{\frac{361}{650}}=\frac{19}{\sqrt{650}}\)

Diện tích tam giác BAC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin BAC\)

\(=\frac12\cdot\sqrt{65}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{19}{\sqrt{650}}=19\)