Tập nghiệm của BPT là: \(\left[{}\begin{matrix}-3< x\le-1\\0\le x< 1\\x>1\end{matrix}\right.\)

\(x^2-5x+4\le0\)

=>(x-1)(x-4)<=0

=>1<=x<=4

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x^2-2x-\left(m^2+1\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x\left(x-2\right)-\left(m^2+1\right)\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left\lbrack x-\left(m^2+1\right)\right\rbrack\)

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)

=>\((x - 2)(x - (m^2 + 1)) \le 0\)

TH1: \(m^2+1=2\)

=>(x-2)(x-2)<=0

=>x=2

=>S=[1;4]\(\cap\) {2}={2}

=>Loại

TH2: \(m^2+1>2\)

=>\(m^2>1\)

=>m>1 hoặc m<-1

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>2<=x<=\(m^2+1\)

=>S=[1;4]\(\cap\) [2;\(m^2+1\) ]

Để đoạn giao nhau có độ dài bằng 1 thì \(\left(m^2+1\right)-2=1\)

=>\(m^2=2\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m=\sqrt2\left(nhận\right)\\ m=-\sqrt2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH3: \(m^2+1<2\)

=>\(m^2<1\)

=>-1<m<0

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>\(m^2+1\le x\le2\)

Độ dài của tập nghiệm là: \(2 - (m^2 + 1) = 1 - m^2\)

Theo đề, ta có: \(1-m^2=1\iff m^2=0\iff m=0\) (nhận)

=>x^2-[(m-1)+(m-5)]x+m^2-6m+5<=0

=>x(x-m+1)-(m-5)(x-m+1)<=0

=>(x-m+1)(x-m+5)<=0

=>m-5<=x<=m-1

=>S=[m-5;m-1]

(3;5) là tập con của S

=>m-5>=3 và m-1<=5

=>m>=8 và m<=6

=>Loại

\(\sqrt{2-f\left(x\right)}=f\left(x\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)\ge0\\f^2\left(x\right)+f\left(x\right)-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=1\\f\left(x\right)=-2< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow f\left(1\right)=f\left(2\right)=f\left(3\right)=1\)

\(\sqrt{2g\left(x\right)-1}+\sqrt[3]{3g\left(x\right)-2}=2.g\left(x\right)\)

\(VT=1.\sqrt{2g\left(x\right)-1}+1.1\sqrt[3]{3g\left(x\right)-2}\)

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(1+2g\left(x\right)-1\right)+\dfrac{1}{3}\left(1+1+3g\left(x\right)-2\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\le2g\left(x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(g\left(x\right)=1\)

\(\Rightarrow g\left(0\right)=g\left(3\right)=g\left(4\right)=g\left(5\right)=1\)

Để các căn thức xác định \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)-1\ge0\\g\left(x\right)-1\ge0\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\sqrt{f\left(x\right)-1}+\sqrt{g\left(x\right)-1}+f\left(x\right).g\left(x\right)-f\left(x\right)-g\left(x\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{f\left(x\right)-1}+\sqrt{g\left(x\right)-1}+\left[f\left(x\right)-1\right]\left[g\left(x\right)-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=1\\g\left(x\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy tập nghiệm của pt đã cho có đúng 1 phần tử

\(x^2-5x+6\le0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\Rightarrow2\le x\le3\) (1)

\(x^2-4\le0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)\le0\Rightarrow-2\le x\le2\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow x=2\)