a: Xét ΔHQI có QE là phân giác

nên \(\frac{EH}{EI}=\frac{QH}{QI}=\frac{8}{15}\)

=>\(\frac{EH}{8}=\frac{EI}{15}\)

mà EH+EI=HI=17

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{EH}{8}=\frac{EI}{15}=\frac{EH+EI}{8+15}=\frac{17}{23}\)

=>\(\begin{cases}EH=\frac{17}{23}\cdot8=\frac{136}{23}\left(\operatorname{cm}\right)\\ EI=\frac{17}{23}\cdot15=\frac{255}{23}\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

b: Xét ΔHQI có \(QH^2+QI^2=HI^2\)

nên ΔHQI vuông tại Q

Xét ΔHFQ vuông tại F và ΔHQI vuông tại Q có

\(\hat{FHQ}\) chung

Do đó: ΔHFQ~ΔHQI

=>\(\frac{FQ}{QI}=\frac{HQ}{HI}\)

=>\(QF=\frac{QI\cdot QH}{IH}=\frac{8\cdot15}{17}=\frac{120}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Gọi độ dài quãng đường là x

Thời gian đi là x/120(h)

Thời gian về là x/90(h)

Theo đề, ta có phương trình:

x/90-x/120=2,5

hay x=900

Gọi độ dài quãng đường là x

Thời gian đi là x/120(h)

Thời gian về là x/90(h)

Theo đề, ta có phương trình:

x/90-x/120=2,5

hay x=900

a: Xét ΔHQI có QE là phân giác

nên \(\frac{EH}{EI}=\frac{QH}{QI}=\frac{8}{15}\)

=>\(\frac{EH}{8}=\frac{EI}{15}\)

mà EH+EI=HI=17

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{EH}{8}=\frac{EI}{15}=\frac{EH+EI}{8+15}=\frac{17}{23}\)

=>\(\begin{cases}EH=\frac{17}{23}\cdot8=\frac{136}{23}\left(\operatorname{cm}\right)\\ EI=\frac{17}{23}\cdot15=\frac{255}{23}\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)

b: Xét ΔHQI có \(QH^2+QI^2=HI^2\)

nên ΔHQI vuông tại Q

Xét ΔHFQ vuông tại F và ΔHQI vuông tại Q có

\(\hat{FHQ}\) chung

Do đó: ΔHFQ~ΔHQI

=>\(\frac{FQ}{QI}=\frac{HQ}{HI}\)

=>\(QF=\frac{QI\cdot QH}{IH}=\frac{8\cdot15}{17}=\frac{120}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: Xét ΔAHI có HM là phân giác

nên \(\frac{MI}{MA}=\frac{HI}{HA}=\frac{5}{12}\)

=>\(\frac{IM}{IA}=\frac{5}{5+12}=\frac{5}{17}\)

b: Ta có: \(\frac{IM}{IA}=\frac{5}{17}\)

=>\(\frac{IM}{13}=\frac{5}{17}\)

=>\(IM=13\cdot\frac{5}{17}=\frac{65}{17}\) (cm)

Ta có: AM+MI=AI

=>\(AM=13-\frac{65}{17}=\frac{156}{17}\) (cm)

c: Xét ΔAHI có \(HI^2+HA^2=AI^2\)

nên ΔHAI vuông tại H

Xét ΔABH vuông tại B và ΔAHI vuông tại H có

\(\hat{BAH}\) chung

Do đó: ΔABH~ΔAHI

=>\(\frac{BH}{HI}=\frac{AH}{AI}\)

=>\(BH=\frac{HA\cdot HI}{AI}=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

a, Theo định lí Pytago tam giác HBM vuông tại B 

\(HM=\sqrt{BH^2+BM^2}=17cm\)

Ta có \(S_{HBM}=\dfrac{1}{2}.BI.HM;S_{HBM}=\dfrac{1}{2}.BH.BM\)

\(\Rightarrow BI=\dfrac{BH.BM}{HM}=\dfrac{120}{17}cm\)

b, Xét tam giác HIB và tam giác HBM có 

^H _ chung ; ^HIB = ^HBM = 90⁰

Vậy tam giác HIB ~ tam giác HBM (g.g) 

\(\dfrac{HI}{HB}=\dfrac{HB}{HM}\Rightarrow HI=\dfrac{HB^2}{HM}=\dfrac{225}{17}cm\)

c, Xét tam giác MIB và tam giác MBH ta có 

^M _ chung 

^MIB = ^MBH = 90⁰

Vậy tam giác MIB ~ tam giác MBH (g.g) 

\(\dfrac{MB}{MH}=\dfrac{MI}{MB}\Rightarrow MB^2=MI.MH\)

Gọi chiều rộng, chiều dài lần lượt là a,b

Theo đề, ta có hệ phương trình:

a=1/4b và a(b+3)=ab+108

=>a=1/4b và 3a=108

=>a=36 và b=144

a.Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông PKQ, ta có:

\(QK^2=PQ^2+PK^2\)

\(\Rightarrow QK=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10cm\)

Áp dụng t/c đường phân giác góc P, ta có:

\(\dfrac{PQ}{PK}=\dfrac{AP}{AK}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6}{8}=\dfrac{AP}{AK}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}=\dfrac{AP}{AK}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{AK}{4}=\dfrac{AP}{3}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{AK}{4}=\dfrac{AP}{3}=\dfrac{AK+AP}{4+3}=\dfrac{QK}{7}=\dfrac{10}{7}\)

\(\Rightarrow AK=\dfrac{10}{7}.4=\dfrac{40}{7}cm\)

\(\Rightarrow AP=\dfrac{10}{7}.3=\dfrac{30}{7}cm\)

b. Xét tam giác PBQ và tam giác PQK, có:

\(\widehat{PBQ}=\widehat{QPK}=90^0\)

\(\widehat{Q}:chung\)

Vậy tam giác PBQ đồng dạng tam giác PQK ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{PB}{PK}=\dfrac{PQ}{QK}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{PB}{8}=\dfrac{6}{10}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{PB}{8}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow5PB=24\) \(\Leftrightarrow PB=\dfrac{24}{5}cm\)

c. Xét tam giác PBQ và tam giác PBK, có:

\(\widehat{PBQ}=\widehat{PBK}=90^0\)

\(\widehat{PQB}=\widehat{BPK}\) ( cùng phụ với \(\widehat{A}\) )

Vậy tam giác PBQ đồng dạng tam giác PBK ( g.g )

\(\Rightarrow\dfrac{PB}{BK}=\dfrac{QB}{PB}\)

\(\Leftrightarrow PB^2=BK.QB\)

Gọi độ dài quãng đường từ Thái Nguyên đến Bắc Ninh là x(km)

(ĐIều kiện: x>0)

Thời gian người đó đi từ Thái Nguyên đến Bắc Ninh là \(\frac{x}{45}\) (giờ)

Thời gian người đó đi từ Bắc Ninh đến Thái Nguyên là \(\frac{x}{50}\) (giờ)

Tổng thời gian cả đi và về là 11h45p-3h-7h15p=4h30p-3h=1h30p=1,5 giờ

Do đó, ta có:

\(\frac{x}{45}+\frac{x}{50}=1,5\)

=>\(\frac{10x}{450}+\frac{9x}{450}=\frac32\)

=>\(\frac{19x}{450}=\frac32\)

=>\(x=\frac32:\frac{19}{450}=\frac32\cdot\frac{450}{19}=\frac{3\cdot225}{19}=\frac{675}{19}\) (nhận)

Vậy: độ dài quãng đường từ Thái Nguyên đến Bắc Ninh là 675/19(km)