Cho đường tròn (O; r) và dây cung AB khác đường kính. Trên tia AB lấy C sao cho AC > AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn (O) tại P, K. Gọi I là trung điểm ABa, Chứng minh 5 điểm C, P, I, K O cùng thuộc một đường trònb) Chứng minh tam giác ACP và tam giác PCB đồng dạng. Từ đó suy ra \(^{CP^2}\)=CB.CAc) Gọi giao điểm của OC và (O) là N. Chứng minh PN là phân giác của góc CPKd) Gọi H là trực tâm tam...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O; r) và dây cung AB khác đường kính. Trên tia AB lấy C sao cho AC > AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn (O) tại P, K. Gọi I là trung điểm AB
a, Chứng minh 5 điểm C, P, I, K O cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh tam giác ACP và tam giác PCB đồng dạng. Từ đó suy ra \(^{CP^2}\)=CB.CA
c) Gọi giao điểm của OC và (O) là N. Chứng minh PN là phân giác của góc CPK
d) Gọi H là trực tâm tam giác CPK. Hãy tính PH theo r.
a: ΔOAB cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥BA tại I
Ta có: \(\hat{OIC}=\hat{OPC}=\hat{OKC}=90^0\)
=>O,I,C,P,K cùng thuộc đường tròn đường kính OC
b: Xét (O) có
\(\hat{CPB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến PC và dây cung PB
\(\hat{PAB}\) là góc nội tiếp chắn cung PB
Do đó: \(\hat{CPB}=\hat{PAB}\)
Xét ΔCPB và ΔCAP có
\(\hat{CPB}=\hat{CAP}\)
\(\hat{PCB}\) chung
Do đó: ΔCPB~ΔCAP
=>\(\frac{CP}{CA}=\frac{CB}{CP}\)
=>\(CP^2=CB\cdot CA\)
c: Gọi M là giao điểm của OC và PK
Xét (O) có
CP,CK là các tiếp tuyến
Do đó: CP=CK và CO là phân giác của góc PCK
Ta có: CP=CK
=>C nằm trên đường trung trực của KP(1)
Ta có: OP=OK
=>O nằm trên đường trung trực của PK(2)
Từ (1),(2) suy ra CO là đường trung trực của PK
=>CO⊥PK tại M và M là trung điểm của PK
Ta có: \(\hat{CPN}+\hat{OPN}=\hat{OPC}=90^0\)
\(\hat{MPN}+\hat{ONP}=90^0\) (ΔMPN vuông tại M)
mà \(\hat{OPN}=\hat{ONP}\) (ΔONP cân tại O)
nên \(\hat{CPN}=\hat{MPN}\)
=>PN là phân giác của góc KPC