Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3 n + 2

Ta có

2n+1 chia hết cho d => 3 ( 2n+1) chia hết cho d => 6n +3 chia hết cho d (1)

3n + 1 chia hết cho d => 2(3n+1) chia hết cho d => 6n + 4 Chia hết cho d ( 2 )

Từ (1), (2)

=> 6n+4 - 6n - 3 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=>  ƯCLN ( 2n + 1 : 3n + 2 ) = 1

=>  Phân số 2n+1/3n+2 tối giản với mọi n thuộc Z 

Phương pháp chứng minh 1 p/s tối giản là :

Chứng minh ƯCLN của tử và mẫu = 1

Còn cách làm : Tự làm

Gọi d là ƯCLN (2n+3; 4n+7) (d thuộc N)

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(2n+3\right)⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4n+6⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}}}\)

=> (4n+7)-(4n+6) chia hết cho d

=> 4n+7-4n-6 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d. Mà d thuộc N 

=> d=1 => ƯCLN (2n+3; 4n+7)=1

=> \(\frac{2n+3}{4n+7}\)tối giản với n thuộc Z

Gọi d là ƯC(2n + 3 ; 4n + 7)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+7⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}4\left(2n+3\right)⋮d\\2\left(4n+7\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}8n+12⋮d\\8n+14⋮d\end{cases}}}\)

=> ( 8n + 12 ) - ( 8n + 14 ) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

* d = 1 => 2n + 3 chia hết cho 1

* d = 2 => 2n + 3 không chia hết cho 2 vì 3 không chia hết cho 2

=> d = 1

=> ƯCLN(2n + 3; 4n + 7) = 1

=> \(\frac{2n+3}{4n+7}\)tối giản ( đpcm )

Gọi ƯCLN(2n + 5,3n + 7) = d (d \(\inℤ;d\ne0\))

=> Ta có :\(\hept{\begin{cases}2n+5⋮d\\3n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+5\right)⋮d\\2\left(3n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+15⋮d\\6n+14⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(6n+15\right)-\left(6n+14\right)⋮d\)

=> \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

Chú ý rằng, phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là ±1.

a) Gọi d là ước chung của n + 7 và n + 6. Ta chứng minh d = ±1 bằng cách xét hiệu (n + 7) - (n + 6) chia hết cho d.

b) Gọi d là ước chung của 3n + 2 và n +1. Ta chứng minh d = ±1 bằng cách xét hiệu (3n + 2) - 3.(n +1) chia hết cho d.

Câu a:

A = \(\frac{15n+1}{30n+1}\) (n ∈ Z)

Gọi ƯCLN(15n + 1; 30n + 1) = d

(15n + 1) ⋮ d và (30n + 1) ⋮ d

[2.(15n + 1)] ⋮ d và (30n + 1) ⋮ d

[30n + 2] ⋮ d và (30n + 1) ⋮ d

[30n + 2 - 30n - 1] ⋮ d

[(30n - 30n) + (2 - 1)] ⋮ d

[0 + 1] ⋮ d

1 ⋮ d suy ra d = 1

Vậy A là phân số tối giản (đpcm)

Gọi UCLN(2n+1,4n+6)=d

Ta có:2n+1 chia hết cho d

4n+6 chia hết cho d

=>2(2n+1) chia hết cho d

4n+6 chia hết cho d

=>4n+2 chia hết cho d

4n+6 chia hết cho d

=>(4n+6)-(4n+2) chia hết cho d

=>4 chia hết cho d

=>d={1,2,4}

Mà 4n+6 không chia hết cho 4

=>d={1,2}

Mà 2n+1 không chia hết cho 2

=>d=1

Vậy phân số \(\frac{2n+1}{4n+6}\) tối giản

2n+1chia hết cho d ; 4n+6 chia hết cho d suy ra 2n+3 chia hết cho d

suy ra (2n+3)-(2n+1) chia hết cho d suy ra 2 chia hết cho d hay d thuộc U₍₂₎={2;-2;1;-1}

vì 2n+1 là số lẻ nên d={1;-1}

suy ra 2n+1phần 4n+6 là phân số tối giản

2n+1chia hết cho d ; 4n+6 chia hết cho d suy ra 2n+3 chia hết cho d

suy ra (2n+3)-(2n+1) chia hết cho d suy ra 2 chia hết cho d hay d thuộc U(2)

={2;-2;1;-1}

vì 2n+1 là số lẻ nên d={1;-1}

suy ra 2n+1phần 4n+6 là phân số tối giản

Để phân số n+1/2n+1 là phân số tố giản thì ƯCLN(n+1,2n+1)=1

Giả sử ƯCLN(n+1,2n+1)=d

=>n+1 chia hết cho d

   2n+1 chia hết cho d

=>2.(n+1) chia hết cho d

   2n+1 chia hết cho d

=>2n+2 chia hết cho d

   2n+1 chia hết cho d

=>(2n+2)-(2n+1) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>ƯCLN(n+1,2n+1)=1

=>Phân số n+1/2n+1 là phân số tối giản

Vậy phân số n+1/2n+1 là phân số tối giản

a) Gọi ƯC(2n+1,4n+6) = d ( d thuộc Z)

Suy ra 2n+1 chia hết cho d

            4n+6 chia hết cho d

Suy ra 2(2n+1) chia hết cho d hay 4n+ 2 chia hết cho d

Suy ra 4n+ 6 - 4n - 2 chia hết cho d hay 4 chia hết cho d

Suy ra d thuộc {1;-1;2-2;4;-4}

Mà 2n + 1 không chia hết cho 2 và -2 nên d khác 2 và -2

      4n+6 không chia hết cho 4 và -4 nên d khác 4 và -4

Suy ra d chỉ có thể là 1 và -1

Vậy 2n+1/4n+6 là phân số tối giản với mọi n

b)CÓ LẼ SAI ĐẦU BÀI