a) Xét tam giác HQI:

QE là phân giác \(\widehat{Q}\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\dfrac{HE}{EI}=\dfrac{HQ}{QI}\) (Tính chất phân giác).

\(\Rightarrow\dfrac{HE}{EI+HE}=\dfrac{HQ}{QI+HQ}.\)

\(\Rightarrow\dfrac{HE}{HI}=\dfrac{HQ}{QI+HQ}.\)

Thay: \(\dfrac{HE}{17}=\dfrac{8}{15+8}.\)

\(\Rightarrow HE=\dfrac{136}{23}\left(cm\right).\\ \Rightarrow EI=\dfrac{255}{23}\left(cm\right).\)

Gọi số tờ tiền loại 10 ngàn đồng là x(tờ)

(Điều kiện: x∈N*)

Số tờ tiền loại 50 ngàn đồng là 20-x(tờ)

Tổng số tiền của x tờ 10 ngàn đồng là 10x(ngàn đồng)

Tổng số tiền của 20-x tờ 50 ngàn đồng là 50(20-x)(ngàn đồng)

Tổng số tiền là 280 ngàn đồng nên ta có:

10x+50(20-x)=280

=>x+5(20-x)=28

=>x+100-5x=28

=>100-4x=28

=>4x=72

=>x=18(nhận)

Vậy: số tờ tiền loại 10 ngàn đồng là 18(tờ)

số tờ tiền loại 50 ngàn đồng là 20-18=2(tờ)

\(A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^9}\)

\(\Rightarrow2A=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^8}\)

\(\Rightarrow2A-A=1-\dfrac{1}{2^9}\)

\(\Rightarrow A=1-\dfrac{1}{2^9}=\dfrac{511}{512}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)_{min}=511+512=1023\)

Câu 1.

a.Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

\(\dfrac{AB}{AH}=\dfrac{BC}{CH}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6}{8}=\dfrac{BC}{CH}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{CH}{8}=\dfrac{BC}{6}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{CH+BC}{8+6}=\dfrac{10}{14}=\dfrac{5}{7}\)

\(CH=\dfrac{5}{7}.8=\dfrac{40}{7}\)

\(BC=\dfrac{5}{7}.6=\dfrac{30}{7}\)

b.\(\Delta ABH\) là tam giác vuông vì:

\(HB^2=AB^2+AH^2\)

\(\Leftrightarrow10^2=6^2+8^2\) ( pitago đảo )

Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông ACB

\(AB^2=BC^2+AC^2\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{6^2-\dfrac{30}{7}^2}=\dfrac{12\sqrt{6}}{7}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.BC.AC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{30}{7}.\dfrac{12\sqrt{6}}{7}\simeq8,998cm^2\)

\(S_{ACH}=\dfrac{1}{2}.HC.AC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{40}{7}.\dfrac{12\sqrt{6}}{7}\simeq11,997cm^2\)

Xét ΔABC có BD là phân giác

nên AB/AD=BC/CD
=>AB/4=BC/5

Đặt AB/4=BC/5=k

=>AB=4k; BC=5k

Theo đề, ta có: \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow9k^2=81\)

=>k=3

=>AB=12; BC=15

A B C D

Vì BD là phân giác của \(\widehat{ABC}\)  nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DC}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{4}{AB}=\dfrac{5}{BC}\Leftrightarrow BC=\dfrac{5AB}{4}\)

Có : AC=AD+DC=4+5=9cm

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có :

\(AB^2+AC^2=BC^2\)    ( định lí Pi-ta-go)

\(AB^2+81=\dfrac{25AB^2}{16}\)

\(81=\dfrac{25AB^2}{16}-\dfrac{16AB^2}{16}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9AB^2}{16}=81\)

\(9AB^2=1296\)

\(AB^2=144\)

AB=12 cm

Có : \(BC=\dfrac{5AB}{4}=\dfrac{5.12}{4}=15cm\)

a:Xét ΔAMN có MB là tia phân giác

nên AB/BN=AM/MN=AN/MN(1)

Xét ΔAMN có NC là tia phân giác

nên AC/CM=AN/MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra AB/BN=AC/CM

hay BC//MN

b: Xét ΔCBM có \(\widehat{CBM}=\widehat{CMB}\)

nên ΔCBM cân tại C

=>CB=CM=6cm

Xét ΔABC có BC//MN

nên BC/MN=AC/AM

\(\Leftrightarrow\dfrac{AC}{AC+6}=\dfrac{1}{2}\)

=>AC=6(cm)

=>AM=12(cm)

a: ΔADE vuông tại A

=>\(AD^2+AE^2=DE^2\)

=>\(DE^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>DE=10(cm)

b:

Sửa đề: Chứng minh \(DI\cdot DE=DA^2\)

Xét ΔDIA vuông tại I và ΔDAE vuông tại A có

\(\hat{IDA}\) chung

Do đó: ΔDIA~ΔDAE

=>\(\frac{DI}{DA}=\frac{DA}{DE}\)

=>\(DI\cdot DE=DA^2\)

c:Sửa đề: Tính DI,IE

Ta có: \(DI\cdot DE=DA^2\)

=>DI=6^2/10=3,6(cm)

Ta có: DI+IE=DE

=>IE=10-3,6=6,4(cm)

d: Xét ΔDAE có AM là phân giác

nên \(\frac{MD}{ME}=\frac{AD}{AE}=\frac68=\frac34\)

=>\(\frac{MD}{3}=\frac{ME}{4}\)

mà MD+ME=DE=10

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{MD}{3}=\frac{ME}{4}=\frac{MD+ME}{3+4}=\frac{10}{7}\)

=>\(MD=3\cdot\frac{10}{7}=\frac{30}{7}\) (cm)

a, \(3x+7x^2+5+2x-7x^2\ge0\Leftrightarrow5x+5\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)

b, \(12x\ge-16\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{4}{3}\)

c, \(\dfrac{5x-1-6}{6}-\dfrac{4\left(x+1\right)}{3}\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5x-7-8\left(x+1\right)}{6}\le0\Rightarrow-3x-15\le0\Leftrightarrow x\le-5\)

a) 7x - 5 = 3x + 4

   7x - 3x = 4 + 5

    4x = 9

      x = \(\dfrac{9}{4}\) = 2,25

b) |3x| = 2x + 3

     x = \(-\dfrac{3}{5}\) = -0,6

     x = 3

c) \(\dfrac{x+3}{-8}\) \(\ge\) 2

   x + 3 \(\le\) - 16

   x \(\le\) -16 - 3

   x \(\le\) -19