a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

\(\hat{ACE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CE

\(\hat{CDE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\hat{ACE}=\hat{CDE}\)

Xét ΔACE và ΔADC có

\(\hat{ACE}=\hat{ADC}\)

góc CAE chung

Do đó: ΔACE~ΔADC

=>\(\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}\)

=>\(AE\cdot AD=AC^2\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>\(AE\cdot AD=AB^2\)

c: Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔACO vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AC^2\)

=>\(AH\cdot AO=AE\cdot AD\)

=>\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)

Xét ΔAHE và ΔADO có

\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)

góc HAE chung

Do đó: ΔAHE~ΔADO

=>\(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)

mà \(\hat{AHE}+\hat{OHE}=180^0\)

nên \(\hat{ADO}+\hat{OHE}=180^0\)

=>OHED là tứ giác nội tiếp

d: Xét (O) có

\(\hat{IBE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BI và dây cung BE

\(\hat{ECB}\) là góc nội tiếp chắn cung EB

Do đó: \(\hat{IBE}=\hat{ECB}\)

Xét (O) có

\(\hat{ACE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CE
\(\hat{CDE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do dó: \(\hat{ACE}=\hat{CDE}\)

mà \(\hat{CDE}=\hat{IAE}\) (hai góc so le trong, CD//AI)

nên \(\hat{IAE}=\hat{ICA}\)

Xét ΔIBE và ΔICB có

\(\hat{IBE}=\hat{ICB}\)

góc BIE chung

Do đo: ΔIBE~ΔICB

=>\(\frac{IB}{IC}=\frac{IE}{IB}\)

=>\(IB^2=IE\cdot IC\left(3\right)\)

Xét ΔIAE và ΔICA có

\(\hat{IAE}=\hat{ICA}\)

góc AIE chung

Do đó: ΔIAE~ΔICA

=>\(\frac{IA}{IC}=\frac{IE}{IA}\)

=>\(IA^2=IE\cdot IC\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra IA=IB

=>I là trung điểm của AB