Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của ON và BC, G là giao điểm của OP và AC

M là trọng tâm của ΔOAB

=>E là trung điểm của AB

N là trọng tâm của ΔOBC

=>F là trung điểm của BC

P là trọng tâm của ΔOAC

=>G là trung điểm của AC

Xét ΔOAB có

OE là đường trung tuyến

M là trọng tâm

Do đó: \(OM=\frac23OE\)

Xét ΔOBC có

OF là đường trung tuyến

N là trọng tâm

Do đó; \(ON=\frac23OF\)

Xét ΔOAC có

OG là đường trung tuyến

P là trọng tâm

Do đó: \(OP=\frac23OG\)

Xét ΔOMN và ΔOEF có

\(\frac{OM}{OE}=\frac{ON}{OF}\left(=\frac23\right)\)

góc MON chung

Do đó: ΔOMN~ΔOEF

=>\(\frac{MN}{EF}=\frac{OM}{OE}=\frac23\left(1\right)\)

Xét ΔONP và ΔOFG có

\(\frac{ON}{OF}=\frac{OP}{OG}\left(=\frac23\right)\)

góc NOP chung

Do đo: ΔONP~ΔOFG

=>\(\frac{NP}{FG}=\frac{ON}{OF}=\frac23\left(2\right)\)

Xét ΔOMP và ΔOEG có

\(\frac{OM}{OE}=\frac{OP}{OG}\left(=\frac23\right)\)

góc MOP chung

Do đó: ΔOMP~ΔOEG

=>\(\frac{MP}{EG}=\frac{OM}{OE}=\frac23\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{MN}{EF}=\frac{NP}{FG}=\frac{MP}{EG}\left(=\frac23\right)\)

Xét ΔMNP và ΔEFG có

\(\frac{MN}{EF}=\frac{NP}{FG}=\frac{MP}{EG}\left(=\frac23\right)\)

Do đó: ΔMNP~ΔEFG(4)

Xét ΔAEG và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AC}\left(=\frac12\right)\)

góc EAG chung

Do đó: ΔAEG~ΔABC

=>\(\frac{EG}{BC}=\frac{AE}{AB}\left(=\frac12\right)\) (5)

Xét ΔBEF và ΔBAC có

\(\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}\left(=\frac12\right)\)

góc EBF chung

Do đó: ΔBEF~ΔBAC

=>\(\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac12\) (6)

Xét ΔCFG và ΔCBA có

\(\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CA}\left(=\frac12\right)\)

góc FCG chung

Do đó; ΔCFG~ΔCBA

=>\(\frac{FG}{BA}=\frac{CF}{CB}=\frac12\left(7\right)\)

Từ (5),(6),(7) suy ra \(\frac{EF}{AC}=\frac{EG}{BC}=\frac{FG}{AB}\)

Xét ΔEFG và ΔCAB có

\(\frac{EF}{CA}=\frac{FG}{AB}=\frac{EG}{CB}\left(=\frac12\right)\)

Do đó: ΔEFG~ΔCAB(8)

Từ (4),(8) suy ra ΔMNP~ΔCAB