\(\Delta'=\left(m-5\right)^2+2m-9=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\ge0;\forall m\)

Pt đã cho luôn luôn có nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-5\right)\\x_1x_2=-2m+9\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1\) là nghiệm của pt nên:

\(x_1^2-2\left(m-5\right)x_1-2m+9=0\Rightarrow x_1^2=2\left(m-5\right)x_1+2m-9\)

Thay vào bài toán:

\(2\left(m-5\right)x_1+2m-9+2\left(m-5\right)x_2=4m^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(m-5\right)\left(x_1+x_2\right)+2m-9=4m^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(m-5\right).2\left(m-5\right)+2m-9=4m^2\)

\(\Leftrightarrow-38m+91=0\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{91}{38}\)

  ( m 2 + m + 3 ) x 2 + ( 4 m 2 + m + 2 ) x + m = 0  có a =   m 2   +   m   +   3 > 0, ∀m và có b =   4 m 2   +   m   +   2 > 0, ∀m, nên ab > 0, ∀m. Vì vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.

a, Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(4m^2-2m-2\right)=-3m^2+4m+3>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2-\sqrt{13}}{3}< m< \dfrac{2+\sqrt{13}}{3}\)

b, Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\2\left(m+1\right)>0\\4m^2-2m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

a) − 4 m 5 ( 2 n − m ) 2 ;                      b) 1 − b b + 5 .

Δ=(-4m)^2-4(4m^2-m+2)

=16m^2-16m^2+4m-8=4m-8

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m-8>0

=>m>2

|x1-x2|=2

=>\(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}=2\)

=>\(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=2\)

=>\(\sqrt{\left(4m\right)^2-4\left(4m^2-m+2\right)}=2\)

=>\(\sqrt{16m^2-16m^2+4m-8}=2\)

=>\(\sqrt{4m-8}=2\)

=>4m-8=4

=>4m=12

=>m=3(nhận)

( m − 2 ) ( m + 1 ) ( 2 m − 3 ) ( m + 1 ) = 2 m 2 − m − 6 ( 2 m − 3 ) ( 2 m + 3 ) = 4 m 3 − 2 m 2 − 3 m − 18 ( 2 m − 3 ) ( 4 m 2 + 6 m + 9 ) .

Ta có: 

\(x^2-2\left(2m+1\right)x+4m^2+4m=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2-2mx\right)-2\left(m+1\right)x+4m\left(m+1\right)=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-2m\right)-2\left(m+1\right)\left(x-2m\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2m\right)\left(x-2m-2\right)=0\Leftrightarrow x_1=2m;...or...x_2=2m\)

\(\Rightarrow\left(x_1-2m\right)\left(x_2-2m\right)=0\Leftrightarrow\left(x_1-2m\right)^2\left(x_2-2m\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x_1^2-4mx_1+4m^2\right)\left(x_2^2-4mx_2+4m^2\right)=0\)

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-5\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-2m+9\right)\)

\(=4\left(m^2-10m+25\right)-4\left(-2m+9\right)\)

\(=4m^2-40m+100+8m-36=4m^2-32m+64\)

\(=4\left(m^2-8m+16\right)=4\left(m-4\right)^2\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>\(4\left(m-4\right)^2>0\)

=>m-4<>0

=>m<>4

Theo Vi-et, ta có:

\(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-5\right)\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-2m+9\end{cases}\)

\(x_1^2+x_2\cdot2\left(m-5\right)=4m^2\)

=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=4m^2\)

=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=4m^2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=4m^2\)

=>\(\left(2m-10\right)^2-\left(-2m+9\right)=4m^2\)

=>\(4m^2-40m+100+2m-9=4m^2\)

=>-38m+91=0

=>-38m=-91

=>\(m=\frac{91}{38}\) (nhận)