Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sinx + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(π) = 0 và y' = -3sin x + 2cos x + 6 > 0, x ∈ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x = π

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sinx + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y( π ) = 0 và y' = -3sin x + 2cos x + 6 > 0, x  ∈ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x =  π

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

PT\(\Leftrightarrow1-2sin^2x.cos^2x+m.sinx.cosx=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{sin^22x}{2}+\dfrac{m}{2}\cdot sin2x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin^22x-m.sin2x-1=0\left(\cdot\right)\)

Đặt \(t=sin2x\left(-1\le t\le1\right)\)

PT(*) trở thành: \(t^2-m.t-1=0\)

Để PT có nghiêm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow m^2-4.1.\left(-1\right)\ge0\Leftrightarrow m^2+4\ge0\)

Dễ thấy \(m^2+4\ge0\left(\forall m\right)\)

Do đó PT (*) luôn có nghiệm với mọi m

Ai giúp em với ạ hic :((

Đặt t=sin x-cosx

=>\(t=\sqrt2\cdot\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\)

\(\Rightarrow-\sqrt2\le t\le\sqrt2\)

\(t^2=\left(\sin x-cosx\right)^2\)

\(=\sin^2x+cos^2x-\sin2x\)

=1-sin2x

=>sin 2x=1-\(t^2\)

Phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\(-m(1 - t^2) + 2016t = 0\)

=>\(mt^2+2016t-m=0\quad\left(1\right)\)

TH1: m=0

(1) sẽ trở thành: \(0\cdot t^2+2016t-0=0\)

=>2016t=0

=>t=0∈\(\left\lbrack-\sqrt2;\sqrt2\right\rbrack\)

=>Phương trình có nghiệm khi m=0(2)

TH2: m<>0

\(\Delta = 2016^2 - 4 \cdot m \cdot (-m) = 2016^2 + 4m^2\) >0∀m

=>(1) luôn có hai phân biệt

THeo Vi-et, ta có: \(t_1\cdot t_2=\frac{c}{a}=\frac{-m}{m}=-1\)

=>t1 và t2 trái dấu

=>\(t_1<0

Xét hàm số \(f(t) = mt^2 + 2016t - m\) , ta có:

\(f(-\sqrt{2}) = m(-\sqrt{2})^2 + 2016(-\sqrt{2}) - m = m - 2016\sqrt{2} - m = -2016\sqrt{2} < 0\)

f(0)=-m

\(f(\sqrt{2}) = m(\sqrt{2})^2 + 2016\sqrt{2} - m = m + 2016\sqrt{2} - m = 2016\sqrt{2} > 0\)

Vì \(f(-\sqrt{2})\cdot f(0)=(-2016\sqrt{2})\cdot(-m)\) và \(f(0)\cdot f(\sqrt{2})=(-m)\cdot2016\sqrt{2}\) và \(f(-\sqrt{2}) \cdot f(\sqrt{2}) = (-2016\sqrt{2}) \cdot (2016\sqrt{2}) = -2016^2 \cdot 2 < 0\)

nên f(t)=0 chắc chắn sẽ có nghiệm trong khoảng \(\left(-\sqrt2;2\right)\)

=>f(t)=0 có nghiệm trong khoảng [\(-\sqrt2;2\) ](3)

Từ (2),(3) suy ra phương trình ban đầu luôn có nghiệm với mọi m∈R

\(pt:\left(-x^2+3x-2\right)m+3x-5=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2m+3mx-2m+3x-5=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2m+\left(3m+3\right)x-2m-5=0\)

pt co nghiem \(\Leftrightarrow\Delta=\left(3m+3\right)^2-4m\left(2m+5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow9m^2+18m+9-8m^2-20m\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+8>0\left(ld\right)\)

Vay pt luon co nghiem voi moi m

Đặt \(f\left(x\right)=\left(5-3m\right)x^7+m^2x^4-2\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-2< 0\)

\(f\left(1\right)=m^2-3m+3=\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) ;\(\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\) ;\(\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) (đpcm)

\(x^2-\left(m+1\right)+m=0\left(1\right)\)

Ta có \(\Delta=b^2-4ac=[-\left(m+1\right)]^2-4m\)

\(=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1\)

\(=\left(m-1\right)^2\ge0\)

Để phương trình 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\Delta>0\Rightarrow m-1\ne0\Rightarrow m\ne1\)

Vậy \(m\ne1\) thì phương trình 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có: \(\Delta=\left(-m-1\right)^2-4\cdot1\cdot m\)

\(=m^2+2m+1-4m\)

\(=m^2-2m+1\)

\(=\left(m-1\right)^2\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow m-1\ne0\)

hay \(m\ne1\)