a: Xét tứ giác OBAC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBAC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\hat{FCE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến FC và dây cung CE
\(\hat{CBE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\hat{FCE}=\hat{CBE}\)

Xét (O) có

\(\hat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

\(\hat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

Do đó: \(\hat{ABE}=\hat{BDE}\)

mà \(\hat{BDE}=\hat{FAE}\) (hai góc so le trong, BD//AC)

nên \(\hat{FAE}=\hat{FBA}\)

Xét ΔFCE và ΔFBC có

\(\hat{FCE}=\hat{FBC}\)

góc CFE chung

Do đó: ΔFCE~ΔFBC

=>\(\frac{FC}{FB}=\frac{FE}{FC}\)

=>\(FC^2=FE\cdot FB\) (1)

Xét ΔFAE và ΔFBA có

\(\hat{FAE}=\hat{FBA}\)

góc AFE chung

Do đó: ΔFAE~ΔFBA

=>\(\frac{FA}{FB}=\frac{FE}{FA}\)

=>\(FA^2=FB\cdot FE\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra FA=FC

=>F là trung điểm của AC

c: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trưc của BC(4)

Từ (3),(4) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(5\right)\)

Xét (O) có

\(\hat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

\(\hat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

Do đó: \(\hat{ABE}=\hat{BDE}\)

Xét ΔABE và ΔADB có

\(\hat{ABE}=\hat{ADB}\)

góc BAE chung

Do đó: ΔABE~ΔADB

=>\(\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AE\cdot AD=AB^2\left(6\right)\)

Từ (5),(6) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)

=>\(\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD}\)

Xét ΔAHE và ΔADO có

\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)

góc HAE chung

Do đó: ΔAHE~ΔADO

=>\(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)

=>\(\hat{AHE}=\hat{ODE}\)

mà \(\hat{AHE}+\hat{OHE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{ODE}+\hat{OHE}=180^0\)

=>OHED là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DHO}=\hat{DEO}\)

mà \(\hat{DEO}=\hat{OED}=\hat{ODE}\) (ΔODE cân tại O)

và \(\hat{ODE}=\hat{AHE}\)

nên \(\hat{AHE}=\hat{DHO}\)

=>\(90^0-\hat{AHE}=90^0-\hat{DHO}\)

=>\(\hat{EHB}=\hat{DHB}\)

=>HB là phân giác của góc DHE