1: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>BE⊥AM tại E

Xét (O') có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BF⊥MC tại F

Xét tứ giác BEMF có \(\hat{BEM}+\hat{BFM}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEMF là tứ giác nội tiếp

2: Qua B, kẻ tiếp tuyến chung BI với (O) và (O'), với I∈EF

Xét (O) có

IE,IB là các tiếp tuyến

Do đó: IE=IB

Xét (O') có

IB,IF là các tiếp tuyến

Do đó: IB=IF

mà IE=IB

nên IE=IF

=>I là trung điểm của EF

Xét ΔBEF có

BI là đường trung tuyến

BI=EF/2

Do đó: ΔBEF vuông tại B

=>\(\hat{EBF}=90^0\)

Xét tứ giác BEMF có \(\hat{BEM}=\hat{BFM}=\hat{EBF}=90^0\)

nên BEMF là hình chữ nhật

a: Xét (I) có

ΔHDB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó; ΔHDB vuông tại D

=>HD⊥AB tại D

Xét (K) có

ΔCEH nội tiếp

CH là đường kính

Do đó: ΔCEH vuông tại E

=>HE⊥AC tại E

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE~ΔACB

=>\(\hat{ADE}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{ADE}+\hat{BDE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BDE}+\hat{BCE}=180^0\)

=>BDEC là tứ giác nội tiếp

b: H đối xứng M qua AB

=>AB là đường trung trực của HM

=>AB⊥HM tại trung điểm của HM

mà AB⊥HD tại D

và HD,HM có điểm chung là H

nên H,D,M thẳng hàng

=>AB⊥HM tại D và D là trung điểm của HM

Ta có: H đối xứng N qua AC

=>AC là đường trung trực của HN

=>AC⊥HN tại trung điểm của HN

mà AC⊥HE tại E

và HN,HE có điểm chung là H

nên H,N,E thẳng hàng

=>AC⊥HN tại E và E là trung điểm của HN

Xét ΔADH vuông tại D và ΔADM vuông tại D có

AD chung

DH=DM

Do đó: ΔADH=ΔADM

=>AH=AM và \(\hat{DAH}=\hat{DAM}\)

=>AH=AM và AD là phân giác của góc HAM

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAEN vuông tại E có

AE chung

EH=EN

Do đó: ΔAEH=ΔAEN

=>AH=AN và \(\hat{EAH}=\hat{EAN}\)

=>AN=AH và AE là phân giác của góc HAN

\(\hat{MAN}=\hat{MAH}+\hat{NAH}\)

\(=2\left(\hat{DAH}+\hat{EAH}\right)=2\cdot\hat{DAE}=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

mà AM=AN(=AH)

nên A là trung điểm của MN

Xét ΔAHB và ΔAMB có

AH=AM

\(\hat{HAB}=\hat{MAB}\)

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔAMB

=>\(\hat{AHB}=\hat{AMB}\)

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

=>BM⊥MN tại M

Xét ΔAHC và ΔANC có

AH=AN

\(\hat{HAC}=\hat{NAC}\)

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔANC

=>\(\hat{AHC}=\hat{ANC}\)

=>\(\hat{ANC}=90^0\)

=>CN⊥NM

mà BM⊥MN

nên BM//CN

Xét hình thang BMNC có

A,O lần lượt là trung điểm của MN,BC

=>AO là đường trung bình của hình thang BMNC

=>AO//BM//CN

=>AO⊥MN tại A

=>MN là tiếp tuyến tại A của (O)

1: Xét (I) có

ΔAMC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAMC vuông tại M

=>CM⊥DA tại M

Xét (J) có

ΔCNB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCNB vuông tại N

=>CN⊥DB tại N

Xét (O) có

ΔDAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔDAB vuông tại D

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMCN là hình chữ nhật

2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)

Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao

nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)

=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có

\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Do đó: ΔDMN~ΔDBA

=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)

mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)

=>AMNB là tứ giác nội tiếp

c: ΔDNM~ΔDAB

=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)

Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)

=>OD⊥ Dx tại D

Xét (O) có

\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB

\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB

Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Dx//MN

=>MN⊥OD

a: ΔOBC cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBD và ΔOCD có

OB=OC

\(\hat{BOD}=\hat{COD}\)

OD chung

Do đó: ΔOBD=ΔOCD
=>\(\hat{OBD}=\hat{OCD}\)

=>\(\hat{OCD}=90^0\)

=>DC là tiếp tuyến tại C của (O)

b:

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

=>CA⊥CB

mà CB⊥OD

nên CA//OD

Xét ΔBOD vuông tại B và ΔCAB vuông tại C có

\(\hat{BOD}=\hat{CAB}\) (hai góc đồng vị, OD//AC)

Do đó: ΔBOD~ΔCAB

=>\(\frac{BO}{CA}=\frac{OD}{AB}\)

=>\(CA\cdot OD=BO\cdot BA=2R^2\)

a) Xét (O) có 

ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))

BC là đường kính của (O)(gt)

Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí)

Ta có: BC=BH+HC(H nằm giữa B và C)

mà BH=9cm(gt)

và CH=16cm(gt)

nên BC=9+16=25(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow AB^2=9\cdot25=225\)

hay AB=15(cm)

Vậy: Khi BH=9cm và CH=16cm thì AB=15cm

b) Xét tứ giác AEMF có

\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)

\(\widehat{MFA}=90^0\)(MF⊥AC)

\(\widehat{AEM}=90^0\)(ME⊥AB)

Do đó: AEMF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒MF=AE(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEMF)

Ta có: EM⊥AB(gt)

AC⊥AB(gt)

Do đó: EM//AC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔABC có 

E∈AB(gt)

M∈BC(gt)

EM//AC(cmt)

Do đó: \(\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{BM}{MC}\)(Định lí Ta lét)

⇒\(\dfrac{BE}{MF}=\dfrac{BM}{MC}\)

hay \(BE\cdot MC=BM\cdot MF\)(đpcm)

Gọi G là trung điểm của AM

Ta có: ΔAHM vuông tại M(AH⊥HM)

mà HG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM(G là trung điểm của AM)

nên \(HG=\dfrac{AM}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AG=GM=\dfrac{AM}{2}\)(G là trung điểm của AM)

nên HG=AG=GM(1)

Ta có: ΔAEM vuông tại E(ME⊥AB tại E)

mà EG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM(G là trung điểm của AM)

nên \(EG=\dfrac{AM}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(GA=GM=\dfrac{AM}{2}\)(G là trung điểm của AM)

nên EG=GA=GM(2)

Từ (1) và (2) suy ra GM=GA=GE=GH

hay A,E,H,M cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

\(\widehat{IAF}=\widehat{CAF}\)

\(\widehat{CFA}+\widehat{CAF}=90^0\)

\(\widehat{BAF}+\widehat{IAF}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CFA}=\widehat{BAF}\)

c.

O là trung điểm AB, G là trung điểm AI \(\Leftrightarrow\) OG là đường trung bình ABI

\(\Rightarrow OG//BI\Rightarrow OG\perp AC\)

Mà \(OA=OC\Rightarrow OG\) là trung trực AC

\(\Rightarrow AG=CG\Rightarrow CG\) là tiếp tuyến

a: Gọi K là giao điểm của AB và CD

Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>DB⊥KA tại B

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>AC⊥KD tại C

Xét ΔKAD có

DB,AC là các đường cao

DB cắt AC tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔKAD

=>KE⊥AD

mà EF⊥AD

và KE,EF có điểm chung là E

nên K,E,F thẳng hàng

=>AB,CD,EF đồng quy tại K

a: Gọi N là trung điểm của BH và J là trung điểm của HC

Xét (N) có

ΔBEH nội tiếp

BH là đường kính

Do đó: ΔBEH vuông tại E

=>HE⊥AB tại E

Xétt (J) có

ΔHFC nội tiếp

HC là đường kính

Do đó: ΔHFC vuông tại F

=>HF⊥AC tại F

Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

b: Gọi X là giao điểm của AH và EF

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

AEHF là hình chữ nhật

=>AH cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>X là trung điểm chung của AH và EF

\(XA=XH=\frac{AH}{2}\)

\(XE=XF=\frac{EF}{2}\)

mà AH=EF

nên XA=XH=XE=XF

Xét ΔXEN và ΔXHN có

XE=XH

EN=HN

XN chung

Do đó: ΔXEN=ΔXHN

=>\(\hat{XEN}=\hat{XHN}=90^0\)

=>EF⊥ EN tại E

=>EF là tiếp tuyến tại E của (N)

Xét ΔXHJ và ΔXFJ có

XH=XF

HJ=FJ

XJ chung

Do đó: ΔXHJ=ΔXFJ

=>\(\hat{XHJ}=\hat{XFJ}\)

=>\(\hat{XFJ}=90^0\)

=>FE⊥ FJ tại F

=>FE là tiếp tuyến tại F của (J)

c: I đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của HI

=>AH=AI và BH=BI

H đối xứng K qua AC

=>AC là đường trung trực của HK

=>AH=AK; CH=CK

Xét ΔAIB và ΔAHB có

AI=AH

IB=HB

AB chung

Do đó: ΔAIB=ΔAHB

=>\(\hat{IAB}=\hat{HAB}\)

=>AB là phân giác của góc IAH

=>\(\hat{IAH}=2\cdot\hat{BAH}\)

Xét ΔAHC và ΔAKC có

AH=AK

CH=CK

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAKC

=>\(\hat{HAC}=\hat{KAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAK

=>\(\hat{HAK}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{IAK}=\hat{IAH}+\hat{HAK}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=180^0\)

=>I,A,K thẳng hàng