Chỳ ý rằng , các số nguyên tố (trừ số 2) đều là các số lẽ

- Nếu n lẽ thì  n + a là số chẵn là một hợp số trỏi với giả thiết n + a là số nguyên tố. vậy n là số chẳn

-  Ta dặt n = 2k,  k   ∈   N *

+   Nếu  k chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6

+   Nếu k = 3p + 1 ,  p   ∈   N *  thì 3 số theo thứ tự bằng a, a + 6p + 2,

a + 12p + 4

+  Do a là số lẽ nên nếu a chia cho 3 dư 1 thì  a + 6p + 2 chia hết cho 3,

 Nếu a chia 3 dư 2 thì a + 12p + 4 chia hết cho 3

+  Nếu k = 3p + 2   p   ∈   N *  thì 3 số theo thứ tự bằng

        a, a + 6p +4, a + 12p +8

với a chia cho 3 dư 1 thì  a + 12p +8  chia hết cho 3

với a chia cho 3 dư 2 thì  a + 6p +4  chia hếtt cho 3

Vậy để 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố thì n phải chia hếtt cho 6.

Vì 2n luôn là số chẵn nên nếu n là số lẻ thì trong hai số a + n và a + 2n sẽ có một số chẵn và 1 số lẻ. Mà số chẵn lớn hơn 3 thì chia hết cho 2 => Không là số nguyên tố. Vậy n phải là số chẵn (tức là n chia hết cho 2).

Lý luận tương tự, n phải chia hết cho 3, vì nếu n chia 3 dư 1 hoặc 2 thì 2n chia cho 3 dư 2 hoặc 1 => Trong 3 số a, a +n, a +2n khi chia cho 3 chắc chắn có 1 số chia hết cho 3

(vì nếu a chia hết cho 3 thì trong 3 số đó, số đầu tiên là a chia hết cho 3; 

nếu a chia 3 dư 1 thì a + n hoặc a + 2n phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số n và 2n có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2

nếu a chia 3 dư 2 thì a + n và a + 2n phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số n và 2n có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2).

Vậy k chia hết cho 2 và cho 3 => n chia hết cho 6.

Vì 2n luôn là số chẵn nên nếu n là số lẻ thì trong hai số a + n và a + 2n sẽ có một số chẵn và 1 số lẻ. Mà số chẵn lớn hơn 3 thì chia hết cho 2 => Không là số nguyên tố. Vậy n phải là số chẵn (tức là n chia hết cho 2).

Lý luận tương tự, n phải chia hết cho 3, vì nếu n chia 3 dư 1 hoặc 2 thì 2n chia cho 3 dư 2 hoặc 1 => Trong 3 số a, a +n, a +2n khi chia cho 3 chắc chắn có 1 số chia hết cho 3

(vì nếu a chia hết cho 3 thì trong 3 số đó, số đầu tiên là a chia hết cho 3; 

nếu a chia 3 dư 1 thì a + n hoặc a + 2n phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số n và 2n có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2

nếu a chia 3 dư 2 thì a + n và a + 2n phải có 1 số chia hết cho 3 vì trong 2 số n và 2n có 1 số chia cho 3 dư 1 và số kia chia cho 3 dư 2).

Vậy k chia hết cho 2 và cho 3 => n chia hết cho 6.

SU DUNG NGUYEN LI DIRICHLET DE TIM CHIA HET CHO 3 VI TATCA LA SNT >3

NEN 3 SO KO CHIA HET CHO 3 NÊN CO DANG 3K+1 VÀ 3K+2

3 SỐ LÀ SNT>3 NEN 3 SO LA SÔ LE NÊN N LA CHAN NEN N:2

a, a+k và a+2k là các số nguyên tố lớn hơn 3 ---> 3 số đó đều là số lẻ 
---> k chẵn (vì a lẻ và a+k lẻ) 
k chẵn nên k có thể có 3 dạng sau k = 6m; k = 6m+2 ; k = 6m+4 (m thuộc N) 
1) Nếu k = 6m+2. 
...Xét 2 TH : 
...+ a chia 3 dư 1 : 
.....Khi đó a+k = a+6m+2 chia hết cho 3 (mâu thuẫn với giả thiết a+k là số n/tố) 
...+ a chia 3 dư 2 : 
.....Khi đó a+2k = a+12m+4 chia hết cho 3 (trái với giả thiết a+2k là số n/tố) 
2) Nếu k = 6m+4 
...Xét 2 TH : 
...+ a chia 3 dư 1 
....Khi đó a+2k = a+12m+8 chia hết cho 3 (trái với giả thiết) 
...+ a chia 3 dư 2 
....Khi đó a+k = a+6m+4 chia hết cho 3 (trái giả thiết) 
Vậy 2 khả năng k = 6m+2 và k = 6m+4 bị loại 
---> k = 6m hay k chia hết cho 6.

Tích cho mình nha !

do m ;m+k ; m+2k là số nguyên tố > 3

=> m ;m+k ;m+2k lẻ

=> 2m+k chẵn

mà 2m chẵn

=>k ⋮ 2

mặt khác m là số nguyên tố >3 

=> m có dạng 3p+1 và 3p+2 (p∈ N*)

xét m=3p+1

ta lại có k có dạng 3a ;3a+1;3a+2(a∈ N*)

với k =3a+1 ta có 3p+1 + 2(3a+1) = 3(p+1+3a) loại vì m+2k là hợp số 

với k = 3a+2 => m+k = 3(p+a+1) loại

=> k=3a

tương tự với 3p+2

=> k=3a

=> k⋮3

mà (3;2)=1

=> k ⋮ 6

do a ;a+k ; a+2k là số nguyên tố >3

=> a;a+k;a+2k lẻ

=> 2a+k chẵn =>k⋮⋮ 2

mặt khác a là số nguyên tố >3 

=> a có dạng 3p+1 và 3p+2(p\(\in\) N*)

xét a=3p+1

ta lại có k có dạng 3a ;3a+1;3a+2(a\(\in\) N*)

với k=3a+1 ta có 3p+1+2(3a+1)=3(p+1+3a) loại vì a+2k là hợp số 

với k=3a+2 => a+k= 3(p+a+1) loại

=> k=3a

tương tự với 3p+2

=> k=3a

=> k⋮3

Mà (3;2)=1

=> k⋮6

Do a ;a+k ; a+2k là số nguyên tố >3

=> a;a+k;a+2k lẻ

=> 2a+k chẵn =>k⋮ 2

mặt khác a là số nguyên tố >3 

=> a có dạng 3p+1 và 3p+2(p∈ N*)

xét a=3p+1

ta lại có k có dạng 3a ;3a+1;3a+2(p∈ N*)

với k=3a+1 ta có 3p+1+2(3a+1)=3(p+1+3a) loại vì a+2k là hợp số 

với k=3a+2 => a+k= 3(p+a+1) loại

=> k=3a

tương tự với 3p+2

=> k=3a

=> k⋮3

Mà (3;2)=1

=> k⋮6

Vì \(a,\ a+n,\ a+2n\) đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ.

Ta có:

- \(a\) và \(a+n\) đều lẻ nên \(n\) là số chẵn. Suy ra \(2\mid n\).

Mặt khác, xét ba số \(a,\ a+n,\ a+2n\) khi chia cho 3.

Vì chúng là ba số nguyên liên tiếp cách nhau \(n\), xét các trường hợp:

- Nếu \(n\equiv0\pmod3\), ta có \(3\mid n\).

- Nếu \(n\equiv1\pmod3\), ba số có dạng \(a,\ a+1,\ a+2\) theo số dư khi chia cho 3. Trong đó có một số chia hết cho 3.

- Nếu \(n\equiv2\pmod3\), ba số cũng có ba số dư khác nhau khi chia cho 3. Trong đó có một số chia hết cho 3.

Do cả ba số đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không số nào chia hết cho 3.

Vậy chỉ có thể xảy ra \(3\mid n\).

Ta có \(2\mid n\) và \(3\mid n\), suy ra \(6\mid n\).

Vậy \(n\) chia hết cho 6.