a:

ĐKXĐ: x<>-2

\(y=\frac{2x-3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x-3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'\(=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)}{\left(x+2\right)^2}=\frac{2x+4-2x+3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{7}{\left(x+2\right)^2}>0\)

=>Hàm số luôn đồng biến trên mọi khoảng xác định

Vẽ đồ thị:

b:

ĐKXĐ: x<>-2

TH1: x>=3/2 hoặc x<-2

=>\(\frac{2x-3}{x+2}\ge0\)

=>\(y=\left|\frac{2x-3}{x+2}\right|=\frac{2x-3}{x+2}\)

\(y=\frac{2x-3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x-3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'\(=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)}{\left(x+2\right)^2}=\frac{2x+4-2x+3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{7}{\left(x+2\right)^2}>0\)

=>Hàm số luôn đồng biến trên (-∞;-2); [3/2;+∞)

TH2: -2<x<3/2

=>\(\frac{2x-3}{x+2}<0\)

=>\(y=\left|\frac{2x-3}{x+2}\right|=\frac{-2x+3}{x+2}\)

\(y=\frac{-2x+3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(-2x+3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(-2x+3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'=\(\frac{-2\left(x+2\right)+2x-3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{-7}{\left(x+2\right)^2}<0\)

=>Hàm số nghịch biến trên (-2;3/2)

Vẽ đồ thị:

c: TH1: x>-2

=>x+2>0

=>\(y=\frac{2x-3}{\left|x+2\right|}=\frac{2x-3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x-3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'\(=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)}{\left(x+2\right)^2}=\frac{2x+4-2x+3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{7}{\left(x+2\right)^2}>0\)

=>Hàm số luôn đồng biến trên (-2;+∞)

TH2: x<-2

=>x+2<0

=>\(y=\frac{2x-3}{\left|x+2\right|}=\frac{-2x+3}{x+2}\)

\(y=\frac{-2x+3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(-2x+3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(-2x+3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'=\(\frac{-2\left(x+2\right)+2x-3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{-7}{\left(x+2\right)^2}<0\)

=>Hàm số nghịch biến trên (-∞;-2)

Vẽ đồ thị:

- Tập xác định : D = R

- Hàm số trên là hàm nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0

Bảng giá trị :

x     -4       -2       0        2        4

y      -8       -2         0      -2      -8

Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{-1}{2}x^2\)

Bài 1:

a: \(y=x^3-2x^2+x\)

=>y'=\(3x^2-2\cdot2x+1=3x^2-4x+1\)

=(3x-1)(x-1)

Đặt y'<0

=>(3x-1)(x-1)<0

=>1/3<x<1

=>hàm số nghịch biến trên khoảng (1/3;1)

Đặt y'>0

=>(x-1)(3x-1)>0

=>x>1 hoặc x<1/3

=>Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;+∞) và (-∞;1/3)

Vẽ đồ thị:

b: Đồ thị hàm số y=|x^3-2x^2+x|

Đồ thị hàm số \(y=\left|x\right|^3-2x^2+\left|x\right|\)

Bài 2:

\(y=x^4-2x^2-3\)

=>y'=\(4x^3-2\cdot2x=4x^3-4x=4x\left(x^2-1\right)\)

Đặt y'<0

=>\(x\left(x^2-1\right)\) <0

TH1: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-1>0\end{cases}\)

=>x<0 và x^2>1

=>x<0 và (x>1 hoặc x<-1)

=>x<-1

TH2: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-1<0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x>0\\ x^2<1\end{cases}\)

=>x>0 và -1<x<1

=>0<x<1

Vậy: hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1); (0;1)

Đặt y'>0

=>\(x\left(x^2-1\right)>0\)

TH1: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-1>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>0\\ x^2>1\end{cases}\)

=>x>0 và (x>1 hoặc x<-1)

=>x>1

TH2: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-1<0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x<0\\ x^2<1\end{cases}\)

=>x<0 và -1<x<1

=>-1<x<0

Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;+∞) và (-1;0)

Vẽ đồ thị:

Với m = 2 ta có hàm số 

- Tập xác định : D = R\{-1}.

- Sự biến thiên :

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞).

+ Cực trị : hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận :

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

⇒ x = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên :

- Đồ thị :

Câu 2: 

a) Để đồ thị hàm số \(y=\left(m+1\right)x^2\) đi qua điểm A(1;2) thì

Thay x=1 và y=2 vào hàm số \(y=\left(m+1\right)x^2\), ta được:

m+1=2

hay m=1

Vậy: m=1

Tập xác định: D = R

y′=0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; + ∞ )

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; −1); (0; 1)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y CĐ  = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 hoặc x = -1;  y CT  = −2

Đồ thị có hai điểm uốn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại

a: \(y=x^4-2x^2+3\)

=>y'=\(4x^3-2\cdot2x=4x^3-4x=4x\left(x^2-1\right)\)

Đặt y'>0

=>\(4x\left(x^2-1\right)>0\)

=>\(x\left(x^2-1\right)>0\)

TH1: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-1>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x>0\\ x^2>1\end{cases}\)

=>x>0 và (x>1 hoặc x<-1)

=>x>1

TH2: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-1<0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x<0\\ x^2<1\end{cases}\)

=>x<0 và -1<x<1

=>-1<x<0

Vậy: hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0); (1;+∞)

Đặt y'<0

=>\(4x\left(x^2-1\right)<0\)

=>\(x\left(x^2-1\right)<0\)

TH1: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-1<0\end{cases}\)

=>x>0 và -1<x<1

=>0<x<1

TH2: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-1>0\end{cases}\)

=>x<0 và (x>1 hoặc x<-1)

=>x<-1

vậy: hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1); (0;1)

Vẽ đồ thị:

b: Vẽ đồ thị: