Ta có: x² - 2x + 1 = 6y² - 2x + 2.

=> x² - 1 = 6y² => 6y² = (x - 1) . (x + 1) chia hết cho 2, do 6y² chai hết cho 2.

Mặt khác x - 1 + x + 1 = 2x chia hết cho 2 => (x - 1) và (x + 1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Vậy (x - 1) và (x + 1) cùng chẵn => (x - 1) và (x + 1) là hai số chẵn liên tiếp.

(x - 1) . (x + 1) chia hết cho 8 => 6y² chia hết cho 8 => 3y² chia hết cho 4 => y² chia hết cho 4 => y chia hết cho 2

Từ đó suy ra y = 2 (Vì y là số nguyên tố), tìm được x = 5.

Ta có: \(x^2+1=6y^2+2\)

=>\(x^2-6y^2=1\)

=>\(6y^2=x^2-1\)

=>\(y^2=\frac{x^2-1}{6}\)

=>\(y^2\) ⋮2

=>y⋮2

mà y là số nguyên tố

nên y=2

Ta có: \(x^2-6y^2=1\)

=>\(x^2=6y^2+1=6\cdot2^2+1=6\cdot4+1=24+1=25=5^2\)

=>x=5(nhận)

Sorry bạn nhưng mình từng giải bài này

Ta có phương trình đơn giản lại tương tự phương trình Pell như sau: $x^2 - 6y^2 = -1$ Ta có thể giải phương trình này bằng phương pháp Pell như sau: Giả sử $x_1, y_1$ là một nghiệm của phương trình, ta có thể tìm được một nghiệm khác bằng cách sử dụng công thức sau: $x_{n+1} = 5x_n + 12y_n$ $y_{n+1} = 2x_n + 5y_n$ Với $x_1 = 5, y_1 = 1$, ta có thể tìm được các giá trị $x$ và $y$ bằng cách lần lượt tính các giá trị $x_n$ và $y_n$ bằng công thức trên cho đến khi tìm được một nghiệm thỏa mãn $x^2 - 6y^2 = -1$. $x_1 = 5, y_1 = 1$ $x_2 = 29, y_2 = 5$ $x_3 = 169, y_3 = 29$ $x_4 = 985, y_4 = 169$ $x_5 = 5741, y_5 = 985$ Vậy $(x, y) = (5741, 985)$ là một nghiệm của phương trình $x^2 - 6y^2 = -1$. Ta kiểm tra xem $x$ và $y$ có phải đều là số nguyên tố hay không. Ta nhận thấy rằng $x$ chia hết cho 7, do đó $x$ không phải là số nguyên tố. Tuy nhiên, ta thấy rằng $y$ là số nguyên tố. Vì vậy, đáp án của bài toán là $(x, y) = (5741, 985)$ với $y$ là số nguyên tố.

Lời giải:

$(x-1)(x+1)=6y^2$

$\Leftrightarrow x^2-1=6y^2$

$\Rightarrow x^2=6y^2+1$ lẻ $\Rightarrow x$ lẻ.

Ta biết 1 scp khi chia cho 4 thì dư $0$ hoặc $1$. Vì $x$ là số lẻ nên $x^2$ là scp lẻ $\Rightarrow$ $x^2$ chia $4$ dư $1$

$\Rightarrow 6y^2=x^2-1\vdots 4$

$\Rightarrow y^2\vdots 2$

$\Rightarrow y$ chẵn. Mà $y$ là số nguyên tố nên $y=2$. 

Khi đó $x^2=6y^2+1=6.2^2+1=25$

$\Rightarrow x=5$ (thỏa mãn)

$

\(x^2+3y^2+4xy=2x+6y+24\)

=>(x+3y)(x+y)-2(x+3y)=24

=>(x+3y)(x+y-2)=24

=>(x+3y;x+y-2)∈{(1;24);(24;1);(-1;-24);(-24;-1);(2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(3;8);(8;3);(-3;-8);(-8;-3);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

mà x+3y+x+y-2=2x+4y-2=2(x+2y-1)⋮2

nên (x+3y;x+y-2)∈{((2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

TH1: x+3y=2 và x+y-2=12

=>x+3y=2 và x+y=14

=>x+3y-x-y=2-14

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=14

=>x=14-y=14-(-6)=20

=>Nhận

TH2: x+3y=12 và x+y-2=2

=>x+3y=12 và x+y=4

=>x+3y-x-y=12-4

=>2y=8

=>y=4

x+y=4

=>x=4-4=0

=>Nhận

TH3: x+3y=-2 và x+y-2=-12

=>x+3y=-2 và x+y=-10

=>x+3y-x-y=-2+10

=>2y=8

=>y=4

x+y=-10

=>x+4=-10

=>x=-14

=>Nhận

TH4: x+3y=-12 và x+y-2=-2

=>x+3y=-12 và x+y=0

=>x+3y-x-y=-12-0

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=0

=>x=-y=-(-6)=6

TH5: x+3y=4 và x+y-2=6

=>x+3y=4 và x+y=8

=>x+3y-x-y=4-8

=>2y=-4

=>y=-2

x+y=8

=>x-2=8

=>x=10

=>Nhận

TH6: x+3y=6 và x+y-2=4

=>x+3y=6 và x+y=6

=>x+3y-x-y=6-6=0

=>2y=0

=>y=0

x+y=6

=>x=6-y=6-0=6

=>Nhận

TH7: x+3y=-4 và x+y-2=-6

=>x+3y=-4 và x+y=-4

=>x+3y-x-y=-4-(-4)

=>2y=0

=>y=0

x+y=-4

=>0+y=-4

=>y=-4

TH8: x+3y=-6 và x+y-2=-4

=>x+3y=-6 và x+y=-2

=>x+3y-x-y=-6-(-2)

=>2y=-6+2=-4

=>y=-2

x+y=-2

=>x-2=-2

=>x=0

\(x^2-3y^2+2xy-2x+6y-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)\left(x+3y-3\right)=1\)

Làm nôt

Viết pt trên thành pt bậc 2 đối với x:\(x^2+2x\left(y-1\right)-\left(3y^2-6y+4\right)=0\) (1)

Pt (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(y-1\right)^2+\left(3y^2-6y+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4y^2-8y+5\ge0\),Ta cần có \(\Delta'=k^2\)

Tức là \(4y^2-8y+5=k^2\Leftrightarrow4\left(y-1\right)^2+1=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-2\right)^2-k^2=-1\Leftrightarrow\left(2y-2-k\right)\left(2y-2+k\right)=-1\)

Đến đây bí!