Cosi: ab <= 1/4 
Quy đồng P, ta đc: 
P = (2ab+1)/(ab+2). 
Ta cm P <= 2/3 
<=> 3(2ab+1) <= 2(ab+2) 
<=> ab<= 1/4 (đúng) 
Vậy maxP = 2/3 khi a=b =1/2

8,8

Giả sử a>b thì 1/a<1/b.
=> 1/a+1/b<2/b hay 1/4<2/b.

Vậy b thuộc(2;3;4;5;6;7)
Ta thấy 1/b<1/4 nên b thuộc(5;6;7)
Nếu b=5 thì a=20(tm)
Nếu b=6 thì a=12(tm)
Nếu b=7 thì số nguyên dương a thoả mãn không tồn tại.
Vậy (a;b)=(20;5) và (12;6)

\(\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=m\in Z^+\Rightarrow a^2-2mb^2a.+mb^3-m=0\)

\(\Rightarrow\Delta=4m^2b^4-4mb^3+4m\) là SCP (1)

Ta dễ dàng chứng minh được:

\(4m^2b^4-4mb^3+4m>\left(2mb^2-b-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m\left(b^2+1\right)>\left(b+1\right)^2\)

Đúng do: \(2m.2\left(b^2+1\right)\ge2m\left(b+1\right)^2>\left(b+1\right)^2\)

Tương tự, ta cũng có: \(4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+4m\left(b^2-1\right)>0\) (luôn đúng với b>1;m>0)

\(\Rightarrow\left(2mb^2-b-1\right)^2< 4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)

\(\Rightarrow4m^2b^4-4mb^3+4m=\left(2mb^2-b\right)^2\) 

\(\Rightarrow b^2=4m\)

\(\Rightarrow b\) chẵn \(\Rightarrow b=2k\Rightarrow m=k^2\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow a^2-8k^4a+8k^5-k^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-k\right)\left(a-8k^4+k\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=k\\a=8k^4-k\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của pt là: \(\left(a;b\right)=\left(k;2k\right);\left(8k^4-k;2k\right)\) với k nguyên dương

Mải làm quên mất, cứ nghĩ là bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên của pt

Nếu chỉ cần chứng minh A nguyên dương thì ko cần 3 dòng cuối nữa, đến đoạn \(m=k^2\) là số chính phương là xong rồi

Bài 4:

1: m=(16a+17b)(17a+16b) là bội của 11

mà 11 là số nguyên tố

nên 16a+17b⋮11 hoặc 17a+16b⋮11

TH1: 16a+17b⋮11

mà 33a+33b⋮11

nên 33a+33b-16a-17b⋮11

=>17a+16b⋮11

=>m=(16a+17b)(17a+16b)⋮11*11

=>m⋮121(2)

TH2: 17a+16b⋮11

mà 33a+33b⋮11

nên 33a+33b-17a-16b⋮11

=>16a+17b⋮11

=>(17a+16b)(16a+17b)⋮11*11

=>m⋮121(1)

Từ (1),(2) suy ra m⋮121

=>m là bội của 121

2: Các số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3 là: 12;15;...;99

=>Số số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3 là:

\(\frac{99-12}{3}+1=\frac{87}{3}+1=29+1=30\) (số)

Các số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 5 là: 10;15;...;95

Số số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 5 là:

\(\frac{95-10}{5}+1=\frac{85}{5}+1=17+1=18\) (số)

Các số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho cả 3 và 5 là: 15;30;45;..;90

Số số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3 và 5 là:

\(\frac{90-15}{15}+1=\frac{75}{15}+1=5+1=6\) (số)

Số số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 3 là:

18-6=12(số)

Số số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 5 là:

30-6=24(số)

Số số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 5 hoặc chia hết cho 3 hoặc chia hết cho cả hai số là:

6+12+24=18+24=42(số)

Các số tự nhiên có hai chữ số là 10;11;...;99

Số số tự nhiên có hai chữ số là (99-10):1+1=89:1+1=90(số)

Số số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho 5 và 3 là:

90-42=48(số)

Bài 3:

1: ƯCLN(a;b)=45

=>a⋮45 và b⋮45

a+b=810

mà a⋮45 và b⋮45

nên (a;b)∈{(45;765);(765;45);(90;720);(720;90);(135;675);(675;135);(180;630);(630;180);(225;585);(585;225);(270;540);(540;270);(315;495);(495;315);(360;450);(450;360);(405;405)}

mà ƯCLN(a;b)=45

nên (a;b)∈{(45;765);(765;45);(225;585);(585;225);(315;495);(495;315)}

BÀI NÀY Ở ĐÂU MÀ NHIỀU THẾ BẠN!?

GIẢI CHẮC ĐÃ LẮM ĐÓ

câu 1 a) thíu là chứng minh rằng a chia hết cho 31