ΔADO vuông tại D

=>\(AD^2+DO^2=AO^2\)

=>\(AD^2=AO^2-OD^2\)

ΔAFO vuông tại F

=>\(AF^2+FO^2=AO^2\)

=>\(AF^2=AO^2-OF^2\)

ΔBDO vuông tại D

=>\(BD^2+DO^2=BO^2\)

=>\(BD^2=BO^2-OD^2\)

ΔBEO vuông tại E

=>\(EB^2+EO^2=BO^2\)

=>\(EB^2=BO^2-EO^2\)

ΔCEO vuông tại E

=>\(CE^2+EO^2=CO^2\)

=>\(CE^2=CO^2-OE^2\)

ΔCFO vuông tại F

=>\(CO^2=FO^2+FC^2\)

=>\(CF^2=CO^2-OF^2\)

\(AD^2+BE^2+CF^2\)

\(=OA^2-OD^2+OB^2-OE^2+OC^2-OF^2\)

\(=\left(OA^2-OF^2\right)+\left(OB^2-OD^2\right)+\left(OC^2-OE^2\right)\)

\(=AF^2+BD_{}^2+CE^2\)

HÌNH CÁC BẠN TỰ VẼ.

Xét ΔABC có AD là đường trung tuyến

nên \(AD^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{5^2+7^2}{2}-\frac{6^2}{4}=\frac{25+49}{2}-\frac{36}{4}=37-9=28\)

Xét ΔABC có BE là đường trung tuyến

nên \(BE^2=\frac{BA^2+BC^2}{2}-\frac{AC^2}{4}=\frac{5^2+6^2}{2}-\frac{7^2}{4}=\frac{2\left(5^2+6^2\right)-7^2}{4}=\frac{73}{4}\)

Xét ΔCAB có CF là đường trung tuyến

nên \(CF^2=\frac{CA^2+CB^2}{2}-\frac{AB^2}{4}=\frac{6^2+7^2}{2}-\frac{5^2}{4}=\frac{2\left(6^2+7^2\right)-5^2}{4}=\frac{145}{4}\)

\(\left(AD^2+BE^2+CF^2\right)\cdot\frac13=\left(28+\frac{73}{4}+\frac{145}{4}\right)\cdot\frac13=\frac{82.5}{3}=27,5\)

Câu hỏi của Diệp Song Thiên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo link này nhé!

- Dựng đường kính AK của (O).

- △ACK nội tiếp đường tròn đường kính AK nên △ACK vuông tại C.

- Xét △AHB và △ACK có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHB}=\widehat{ACK}=90^0\\\widehat{ABH}=\widehat{AKC}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BC}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta ACK\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{AK}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{2R}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{AH.BC}{2}=\dfrac{\dfrac{AB.AC}{2R}.BC}{2}=\dfrac{AB.AC.BC}{4R}\)

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

1) Ta có: BH vuông góc với AC

               CK vuông góc với AC

      => BH//CK

Chứng minh tương tự ta có: CH//Bk

Xét tứ giác BHCK có:    BH//CK

                                     CH//BK

=> Tứ giác BHCK là hbh

Có M là trung điểm của BC=> M là trung điểm của HK=>M,H,K thẳng hàng

2.gọi HI cắt BC tại J

Xét tam giác HIK có:  J là trung điểm của HI

                                   M là trung điểm của HK

=> JM là đường trung bình trong tam giác HIK

=> IK//MJ hay IK//BC

Xét tam giác BHJ và tam giác BIJ có;

                HJ=JI

       góc BJH=góc BJI=90

              BJ chung

=> Tam giác BHJ = tam giác BIJ

=> Góc HBJ= góc IBJ

Mà góc HBJ= góc BCK( do BH//CK)

Xét tứ  giác BIKC có:

           KI//BC

góc IBC= góc KCB

=>Tứ giác BIKC là hình thang cân

3.Xét tứ giác GHCK có:     GK//HC  (doBK//HC)

=> Tứ giác GHCK là hình thang

Để GHCK là hình thang cân<=>góc GHC= góc KCH(1)

mà GHC+HCB=90

      KCH+HCA=90

=> (1)<=> góc HCB=góc HCA=> CH là phân giác của góc ACB

Xét tam giác ABC có : CH là phân giác của góc ACB

                                   CH là đường cao trong tam giác ABC

=> Tam giác ABC cân tại C

Vậy tứ giác GHCK là hình thang cân<=> Tam giác ABC cân tại C