(102 + 112 + 122) : (132 + 142)

= (100 + 121 + 144) :( 169 + 196)

= 365: 365

= 1 

   (10² + 11² + 12²) : (13² + 14²)

= (100 + 121 + 144) :( 169 + 196)

= 365: 365

= 1 

Ta có: 102+112+122 = 100 + 121 + 144 = 365

132+142 = 169 + 196 = 365

Vậy 102+112+122 = 132+142

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot2}=1-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

...

\(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n}<1\)

=>\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1+1=2\)

=>A<2

Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}>0\)

=>\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}>1\)

=>A>1

Do đó: 1<A<2

=>A không là số tự nhiên

Áp dụng công thức sau: 

Tổng dãy số tăng dần = số số hạng x (số đầu +số cuối):2

Có 999 số hạng

=> A =999x(1+999):2=499500

Vậy A > 10000

Ta có: \(\dfrac{10^2+11^2+12^2}{13^2+14^2}=\dfrac{365}{365}=1\)

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot2}=1-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

...

\(\frac{1}{10^2}<\frac{1}{9\cdot10}=\frac19-\frac{1}{10}\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{10^2}<1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac19-\frac{1}{10}\)

=>\(A<1-\frac{1}{10}\)

=>A<1

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot2}=1-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

...

\(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n}<1\)

=>\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1+1=2\)

=>A<2

Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}>0\)

=>\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}>1\)

=>A>1

Do đó: 1<A<2

=>A không là số tự nhiên

Để tính số trung vị, trước hết ta cần sắp xếp 45 số liệu đã cho theo thứ tự tăng dần. Số trung vị là giá trị của số liệu đứng thức N + 1 2 = 45 + 1 2 = 23 . Số liệu đứng thứ 23 là 123. Vậy số trung vị là 123.

  1 2 2   < 1 1.2 ; 1 3 2 < 1 2.3 ; 1 4 2 < 1 3.4 ; ... ; 1 10 2 < 1 9.10

⇒ 1 2 2   + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 10 2 < 1 1.2 + 1 2.3 + 1 3.4 + ... + 1 9.10 < 1.