Xét ΔPMN có PQ là đường phân giác

nên MQ/MP=NQ/NP

hay MQ/6,2=NQ/8,7

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta được:

\(\dfrac{MQ}{6.2}=\dfrac{NQ}{8.7}=\dfrac{MQ+NQ}{6.2+8.7}=\dfrac{12.5}{14.9}=\dfrac{125}{149}\)

=>MQ=775/149(cm); NQ=2175/298(cm)

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{18}=\frac23\)

=>\(BD=\frac25BC;CD=\frac35BC\)

=>\(S_{ABD}=\frac25\cdot S_{ABC};S_{ACD}=\frac35\cdot S_{ABC}\)

Ta có: AI+ID=AD

=>AD=2ID+ID=3ID

=>\(AI=\frac23AD\)

=>\(S_{AIB}=\frac23\cdot S_{ADB}=\frac23\cdot\frac25\cdot S_{ABC}=\frac{4}{15}\cdot S_{ABC}\) ; \(S_{AIC}=\frac23\cdot S_{ADC}=\frac23\cdot\frac35\cdot S_{ABC}=\frac25\cdot S_{ABC}\)

Ta có: \(S_{AIB}+S_{AIC}+S_{BIC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{BIC}=S_{ABC}-\frac25\times S_{ABC}-\frac{4}{15}\times S_{ABC}=S_{ABC}\times\left(1-\frac25-\frac{4}{15}\right)=S_{ABC}\cdot\left(\frac35-\frac{4}{15}\right)=S_{ABC}\cdot\frac13\)

=>\(\frac{S_{BIA}}{S_{BIC}}=\frac{4}{15}:\frac13=\frac{4}{15}\cdot3=\frac45\)

Ta có: E nằm giữa A và C

=>\(\frac{S_{BEA}}{S_{BEC}}=\frac{EA}{EC};\frac{S_{IEA}}{S_{IEC}}=\frac{EA}{EC}\)

=>\(\frac{EA}{EC}=\frac{S_{BEA}-S_{IEA}}{S_{BEC}-S_{IEC}}\)

=>\(\frac{EA}{EC}=\frac{S_{BIA}}{S_{BIC}}=\frac45\)

b: \(\frac{EA}{EC}=\frac45\)

=>\(EA=\frac45\cdot EC=0,8\cdot EC\)

EA+EC=AC

=>0,8EC+EC=18

=>1,8EC=18

=>EC=10(cm)

=>EA=0,8*10=8(cm)

a, Xét tam giác AMN và tam giác ABC có 

^A _ chung 

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2,5}{7,5}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)

Vậy tam giác AMN ~ tam giác ABC (c.g.c) 

b, Ta có tỉ số đồng dạng : \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\Rightarrow MN=\dfrac{AM.BC}{AB}=4cm\)

a.Ta có:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2,5}{7,5}=\dfrac{1}{3};\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\)MN//BC ( Ta-lét đảo )

=> Tam giác AMN đồng dạng tam giác ABC

b. Ta có: MN//BC ( cmt )

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}=\dfrac{MN}{12}\)

\(\Leftrightarrow3MN=12\)

\(\Leftrightarrow MN=4cm\)

-Hình vẽ:

a) Ta có: \(\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{BM}{CM}=2\).

-Xét △ABC có: \(\dfrac{BM}{CM}=\dfrac{AN}{NC}=2\) .

\(\Rightarrow MN\)//\(AB\) (định lí Ta-let đảo).

b) -Xét △BCI có: MK//BI (cmt).

\(\Rightarrow\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{CK}{CI}\) (định lí Ta-let) (1).

-Xét △ACI có: NK//AI (cmt).

\(\Rightarrow\dfrac{NK}{AI}=\dfrac{CK}{CI}\) (định lí Ta-let) (2).

-Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{NK}{AI}\)

 Mà \(BI=AI\) (I là trung điểm AB).

\(\Rightarrow MK=NK\) hay K là trung điểm MN.

a: AE=1/3x6=2(cm)

b: AE/AB=AF/AC

c: Xét ΔABC có EF//BC

nên AE/AB=AF/AC

=>AF/7=1/3

hay AF=7/3(cm)

a: \(S_{ABCD}=\dfrac{AD\cdot DC}{2}=\dfrac{12\cdot16}{2}=12\cdot8=96\left(cm^2\right)\)

b: MD=6cm

DO=5cm

a: Xét tứ giác BDCN có 

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của DN

Do đó: BDCN là hình bình hành

b: Xét tứ giác ANDB có 

DB//AN

DB=AN

Do đó: ANDB là hình bình hành

mà \(\widehat{NAB}=90^0\)

nên ANDB là hình chữ nhật

Suy ra: AD=BN

a)

Vì D đối xứng N qua M (gt)

=> M là trung điểm của DM (đn)

Xét tứ giác BDCN có

M là trung điểm BC (gt)

M là trung điểm DM (cmt)

=> Tứ giác BDCN là hbh (dhnb hbh)

b) 

Vì BDCN là hbh( cmt)

=> BD//NC

=> BD//AN (1) và BD=NC

mà NC=AN (N là trung điểm AC)

=> BD=NC (bắc cầu) (2)

Mà BAC=90 (gt) (3)

Từ (1) và (2), (3)=> BDNA hcn (dhnb hcn)

=> AD=BN (t/c đường chéo hcn)

Xét tam giác ACE có

N là trung điểm AC (gt)

FN//EC (BN//DC)

=> F là trung điểm của AE ( đtb)

mà N là trung điểm của AC (gt)

=> FN là đtb của tam giác AEC ( đn)

=> FN= 1/2 EC (1)

Xét tam giác FNM=tam giác EMD (cgc)

=> DE=FN ( 2 góc t/ư)(2)

Từ (1) và (2) => DE=1/2 EC ( bc)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2\)

=>BC=5(cm)

Xét ΔABC có

D,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DF là đường trung bình của ΔABC

=>DF//BC và \(DF=\frac{BC}{2}=\frac52=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔABC có

F,E lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>FE là đường trung bình của ΔABC

=>FE//AB và \(FE=\frac{AB}{2}\)

FE//AB

=>FE//AD
\(FE=\frac{AB}{2}\)

\(AD=DB=\frac{AB}{2}\)

Do đó: FE=AD=DB

Xét tứ giác ADEF có

AD//EF

AD=EF

Do đó: ADEF là hình bình hành

Hình bình hành ADEF có \(\hat{DAF}=90^0\)

nên ADEF là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác AEBM có

D là trung điểm chung của AB và ME

=>AEBM là hình bình hành

Hình bình hành AEBM có AB⊥ME

nên AEBM là hình thoi

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>NE//CF và MF//AE

Xét ΔBAE có

M là trung điểm của BA

MF//AE

Do đó: F là trung điểm của BE

=>BF=EF(1)

Xét ΔDFC có

N là trung điểm của DC

NE//FC

Do đó; E là trung điểm của DF

=>DE=EF(2)

Từ (1),(2) suy ra BF=FE=ED

b: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(3)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(4)

Từ (3),(4) suy ra AC,MN,BD đồng quy