Tìm ba phân số khác nhau biết phân số thứ nhất và phân số thứ hai là 7/8,tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba là 8/7,tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ ba là 8/9

Ai biết là, giải giúp mình ạ, đang gấp

Đặt AB = c ; AC = b ; BC = a . 

Ta có : \(b+c=13\)  ; \(r=\dfrac{S}{p}=\sqrt{3}\)  ( p \(=\dfrac{a+b+c}{2}\) ) 

Có : \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) nên : \(r=\sqrt{\dfrac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}}=\sqrt{3}\) 

\(\Rightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)=3p\)   

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{-a+b+c}{2}\right)\left(\dfrac{-b+a+c}{2}\right)\left(\dfrac{-c+a+b}{2}\right)=\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(-a+b+c\right)\left(-b+a+c\right)\left(-c+a+b\right)=12\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(-a+13\right)\left(-b+a+c\right)\left(-c+a+b\right)=12\left(13+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(-a+13\right)\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]=12\left(13+a\right)\)   (2)

Có : \(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=cosA=cos60^o=\dfrac{1}{2}\)  \(\Rightarrow b^2+c^2-a^2=bc\) \(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc\)  (1) 

Mặt khác :  \(b+c=13\Leftrightarrow b^2+c^2-bc+3bc=169\Leftrightarrow a^2=169-3bc\)

Từ (1) ; (2) suy ra : \(\left(-a+13\right)bc=12\left(13+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(-a+13\right)\left(169-a^2\right)=36\left(13+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(13-a\right)^2\left(13+a\right)=36\left(13+a\right)\) 

\(\Leftrightarrow\left(13-a\right)^2=36\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}13-a=6\\13-a=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=7\\a=19>13=b+c\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

1:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=13^2-12^2=169-144=25=5^2\)

=>AC=5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{12^2}{13}=\frac{144}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+HC=BC

=>\(HC=BC-BH=13-\frac{144}{13}=\frac{25}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b; BC=1dm=10cm

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-5^2=100-25=75\)

=>AC=5\(\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{5^2}{10}=2,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+HC=BC

=>\(HC=BC-BH=10-2,5=7,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{5\cdot5\sqrt3}{10}=\frac{25\sqrt3}{10}=\frac{5\sqrt3}{2}\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=9^2-\left(3\sqrt3\right)^2=81-27=54\)

=>AC=\(3\sqrt6\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{\left(3\sqrt3\right)^2}{9}=\frac{27}{9}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+HC=BC

=>\(HC=BC-BH=9-3=6\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{3\sqrt3\cdot3\sqrt6}{9}=\sqrt{18}=3\sqrt2\) (cm)

2: a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=24^2+18^2=900=30^2\)

=>BC=30(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot30=24\cdot18=432\)

=>AH=432/30=14,4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{24^2}{30}=\frac{576}{30}=19,2\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+HC=BC

=>CH=30-19,2=10,8(cm)

b: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=\left(2\sqrt2\right)^2+\left(2\sqrt2\right)^2=8+8=16=4^2\)

=>BC=4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot4=2\sqrt2\cdot2\sqrt2=8\)

=>AH=2(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{\left(2\sqrt2\right)^2}{4}=\frac84=2\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+HC=BC

=>CH=4-2=2(cm)

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=\left(3\sqrt3\right)^2+9^2=27+81=108\)

=>BC=6\(\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot6\sqrt3=3\sqrt3\cdot3=9\sqrt3\)

=>AH=9/6=1,5(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{\left(3\sqrt3\right)^2}{6\sqrt3}=\frac{27}{6\sqrt3}=\frac{9}{2\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{2}\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+HC=BC