Để tính BN/CN, ta có thể sử dụng định lí phân giác trong tam giác. Theo định lí phân giác, ta có:

BN/CN = AB/AC

Với AB = c và AC = b, ta có:

BN/CN = c/b

Vậy, BN/CN = c/b.

a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAD vuông tại A có

góc HBA chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAD

b: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB

=>ΔMAB cân tại M

=>\(\hat{MBA}=\hat{MAB}=\hat{HAB}\)

mà \(\hat{HAB}=\hat{ADB}\left(=90^0-\hat{ABD}\right)\)

nên \(\hat{BAH}=\hat{BDA}\)

Ta có: \(\hat{ADB}=\hat{MAB}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)

\(\hat{MAB}=\hat{ABC}\)

Do đó: \(\hat{ADB}=\hat{ABC}\)

Xét ΔADB vuông tại A và ΔABC vuông tại A có

\(\hat{ADB}=\hat{ABC}\)

Do đó: ΔADB~ΔABC

=>\(\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(AD\cdot AC=AB^2\) (1)

ΔBHA~ΔBAD

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BD}\)

=>\(BH\cdot BD=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AC=BH\cdot BD\)

a: Xét ΔBAH vuông tại A và ΔBDH vuông tại D có

BH chung

BA=BD

=>ΔBAH=ΔBDH

=>góc ABH=góc DBH

=>BH là phân giác của góc ABD

b: ΔABC vuông tại A

mà AM là trung tuyến

nên MA=MB

=>ΔMAB cân tại M

a ) Xét  ∆BAD và  ∆CAD
AB = AC (  ∆ABC cân )
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)
\(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)
=>  ∆ABH =  ∆ACH(g.c.g)

Lời giải:

a. Áp dụng tính chất tia phân giác đối với tam giác $AMB, AMC$ thì:
$\frac{AD}{DB}=\frac{AM}{MB}$

$\frac{AE}{EC}=\frac{AM}{MC}$
Mà $MB=MC$ (do $M$ là trung điểm $BC$)

$\Rightarrow \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow DE\parallel BC$ (theo định lý Talet đảo) 

b.

Tam giác $ABM$ có $DI\parallel BM$ (do $DE\parallel BC$) nên áp dụng định lý Talet:

$\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}$

Tam giác $ACM$ có $IE\parallel CM$ (do $DE\parallel BC$) nên áp dụng định lý Talet:

$\frac{IE}{MC}=\frac{AI}{AM}$

$\Rightarrow \frac{DI}{BM}=\frac{IE}{MC}$

Mà $BM=CM$ nên $DI=IE$ 

$\Rightarrow I$ là trung điểm $DE$>

Hình vẽ: