Bài 1: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB; dựng d và d’ lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn tại A và B. Một đường thẳng đi qua O cắt d và d’ tại M và N; đường thẳng vuông góc với MN tại O cắt d’ tại P. a) Chứng minh: MNP cân. b) Chứng minh: AM.BP = R2 c) Chứng minh: MP là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H d) Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP...
Đọc tiếp
Bài 1: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB; dựng d và d’ lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn tại A và
B. Một đường thẳng đi qua O cắt d và d’ tại M và N; đường thẳng vuông góc với MN tại O cắt d’ tại P.
a) Chứng minh: MNP cân.
b) Chứng minh: AM.BP = R2
c) Chứng minh: MP là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H
d) Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP tiếp xúc với AB.
e) Gọi E là giao điểm của AH với MN; F là giao điểm BH với OP. Tính EF theo R
a: Xét ΔOAM vuông tại A và ΔOBN vuông tại B có
OA=OB
\(\hat{AOM}=\hat{BON}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOAM=ΔOBN
=>AM=BN và OM=ON
Xét ΔPOM vuông tại O và ΔPON vuông tại O có
PO chung
OM=ON
Do đó: ΔPOM=ΔPON
=>PM=PN
=>ΔPMN cân tại P
b: Xét ΔOPN vuông tại O có OB là đường cao
nên \(BN\cdot BP=OB^2\)
=>\(AM\cdot BP=R^2\)
c: Kẻ OH⊥MP tại H
Ta có: ΔPOM=ΔPON
=>\(\hat{PMO}=\hat{PNO}\)
mà \(\hat{PNO}=\hat{AMO}\)(hai góc so le trong, AM//PN)
nên \(\hat{AMO}=\hat{PMO}\)
Xét ΔMAO vuông tại A và ΔMHO vuông tại H có
MO chung
\(\hat{AMO}=\hat{HMO}\)
Do đó: ΔMAO=ΔMHO
=>OA=OH
=>OH=R
=>H nằm trên (O;R)
Xét (O) có
OH là bán kính
MP⊥OH tại H
Do đó: MP là tiếp tuyến tại H của (O)
d: Gọi I là trung điểm của MP
=>I là tâm đường tròn đường kính MP
ΔMOP vuông tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI=IM=IP
=>O nằm trên (I)
Xét hình thang AMPB có
O,I lần lượt là trung điểm của AB,MP
=>OI là đường trung bình của hình thang AMPB
=>OI//AM//PB
=>OI⊥AB tại O
Xét (I) có
IO là bán kính
AB⊥IO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến tại O của (I)
=>ĐPCM