E đối xứng D qua AB

=>AB là đường trung trực của ED

=>AD=AE và BD=BE và AB⊥ED tại H và H là trung điểm của DE

D đối xứng F qua AC

=>AC là đường trung trực của DF

=>AD=AF và CD=CF và AC⊥DF tại K và K là trung điểm của DF

Xét ΔADB và ΔAEB có

AD=AE
DB=EB

AB chung

Do đó: ΔADB=ΔAEB

=>\(\hat{DAB}=\hat{EAB}\)

=>AB là phân giác của góc DAE

=>\(\hat{DAE}=2\cdot\hat{DAB}\)

Xét ΔADC và ΔAFC có

AD=AF

CD=CF

AC chung

Do đó: ΔADC=ΔAFC

=>\(\hat{DAC}=\hat{FAC}\)

=>AC là phân giác của góc DAF

=>\(\hat{DAF}=2\cdot\hat{DAC}\)

\(\hat{FAE}=\hat{FAD}+\hat{DAE}\)

\(=2\left(\hat{DAB}+\hat{DAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=180^0\)

=>F,A,E thẳng hàng

Xét ΔDFE có

K,H lần lượt là trung điểm của DF,DE

=>KH là đường trung bình của ΔDFE

=>KH=FE/2

=>FE=2KH

Xét tứ giác AHDK có \(\hat{AHD}=\hat{AKD}=\hat{HAK}=90^0\)

nên AHDK là hình chữ nhật

=>AD=HK

=>FE=2AD

Kẻ AM⊥BC tại M

=>AM<=AD

=>AM<=AD=1/2FE

Để FE nhỏ nhất thì M trùng với D

hay D là chân đường cao kẻ từ A xuống BC

F E B D C A 2 1 3 4

a) E đối xứng với D qua AB=> AD=AE và \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

F đối xứng với D qua AC=> AD=AF và \(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\)

\(\Rightarrow AE=\text{AF}\left(=AD\right),\widehat{DAE}+\widehat{D\text{AF}}=2\left(\widehat{A_1}+\widehat{A_3}\right)=2.90^0=180^0\)=> E,A,F thẳng hàng.

Vậy E đối xứng với F qua A(ĐPCM)

b) Ta có: EF=2AD nên EF nhỏ nhất => AD nhỏ nhất => D là chân đường cao kẻ từ A đến BC

* Vì E đối xứng với D qua AB

⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE

⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)

Nên ∆ ADE cân tại A

Suy ra: AB là đường phân giác của ∠ (DAE) ⇒ ∠ A 1 =  ∠ A 2

* Vì F đối xứng với D qua AC

⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF

⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực)

Nên  ∆ ADF cân tại A

Suy ra: AC là phân giác của  ∠ (DAF)

⇒  ∠ A 3 =  ∠ A 4

∠ (EAF) =  ∠ EAD) +  ∠ (DAF) = ∠ A 1 +  ∠ A 2 +  ∠ A 3 +  ∠ A 4 = 2( ∠ A 1 +  ∠ A 3 ) = 2 . 90 0 = 180 0

⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD

Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.

a: Xét ΔDBM vuông tại D và ΔECM vuông tại E có

\(\hat{DBM}=\hat{ECM}\) (ΔABC cân tại A)

DO đó: ΔDBM=ΔECM

=>\(\hat{DMB}=\hat{EMC}\)

D đối xứng D' qua MB

=>BD=BD'; MD=MD'

Xét ΔBDM và ΔBD'M có

BD=BD'

DM=D'M

BM chung

Do đó: ΔBDM=ΔBD'M

=>\(\hat{BMD}=\hat{BMD^{\prime}}\)

=>\(\hat{BMD^{\prime}}=\hat{EMC}\)

mà \(\hat{EMC}+\hat{EMB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BMD^{\prime}}+\hat{BME}=180^0\)

=>D',M,E thẳng hàng

b: ΔBDM=ΔBD'M

=>\(\hat{DBM}=\hat{D^{\prime}BM}\)

=>\(\hat{D^{\prime}BM}=\hat{ACB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BD'//AC

=>BD'//FE

TA có: BF⊥AC

D'E⊥AC

Do đó: BF//D'E

Xét tứ giác BFED' có

BF//ED'

BD'//FE

Do đó: BFED' là hình bình hành

=>ED'=BF

* Vì E đối xứng với D qua AB

⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE

⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)

Nên ∆ ADE cân tại A

Suy ra: AB là đường phân giác của ∠ (DAE) ⇒ ∠ A 1 =  ∠ A 2

* Vì F đối xứng với D qua AC

⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF

⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực)

Nên  ∆ ADF cân tại A

Suy ra: AC là phân giác của  ∠ (DAF)

ok!!!!

* Vì E đối xứng với D qua AB

⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE

⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)

Nên ΔADE cân tại A

Suy ra: AB là đường phân giác của ∠(DAE) ⇒ ∠A1= ∠A2

⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF

⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực)

Nên ΔADF cân tại A

Suy ra: AC là phân giác của ∠(DAF)

⇒ ∠A3= ∠A4

∠(EAF) = ∠(EAD) + ∠(DAF) = ∠A1+ ∠A2+ ∠A3+ ∠A4= 2(∠A1+ ∠A3) = 2.90^o = 180^o

⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD

Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.

Giải thích các bước giải:

 a) xét tứ giác AMEN

góc A =90 *( tấm giác abc vuông tại a 

EM vuông góc vs AM nên góc e =90*

en vuông góc vs ac nên góc n bằng 90 

suy ra tứ giắc AMEN là hình chữ nhật 

b)

vị trí điểm e để tứ giắc AMEN là hình chữ nhật là  E là trung điểm cạnh BC

C )

xét tam giác IEK có 

AN//EI (AN//EM

N là trung điểm của EK ( E đx vs  M qua N

suy ra I đx vs K qua A

Chúc bạn học tốt nhé! ^^

Cj ơi