CMR:\(\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+\frac{9}{12!}+.....+\frac{9}{100!}\)<\(\frac{1}{9!}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 3 2018
Bạn tham khảo nhé
\(a)\)Đặt \(A=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}\)
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(A< 1-\frac{1}{100}=\frac{100-1}{100}=\frac{99}{100}< 1\) ( đpcm )
Vậy \(A< 1\)
9 tháng 4 2019
Có: \(\frac{9}{10!}=\frac{9}{10!}\)
\(\frac{9}{11!}< \frac{10}{11!}=\frac{11-1}{11!}=\frac{11}{11!}-\frac{1}{11!}=\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\)
\(\frac{9}{12!}< \frac{11}{12!}=\frac{12-1}{12!}=\frac{12}{12!}-\frac{1}{12!}=\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}\)
............
\(\frac{9}{1000!}< \frac{999}{1000!}=\frac{1000-1}{1000!}=\frac{1000}{1000!}-\frac{1}{1000!}=\frac{1}{999!}-\frac{1}{1000!}\)
\(\Rightarrow\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+\frac{9}{12!}+...+\frac{1}{1000!}< \frac{9}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}+...+\frac{1}{999!}-\frac{1}{1000!}\)
\(\Rightarrow\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+...+\frac{1}{1000!}< \frac{10}{10!}-\frac{1}{1000!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{1000!}< \frac{1}{9!}\)
\(\Rightarrow\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+...+\frac{9}{1000!}< \frac{1}{9!}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
8 tháng 4 2019
đặt tên là B
B =910!+911!+912!+.............+91000!B=910!+911!+912!+.............+91000!
Ta thấy :
910!=10−110!=19!−110!910!=10−110!=19!−110!
911!<11−111!=110!−111!911!<11−111!=110!−111!
91000!<1000−1
MT
13 tháng 8 2015
a) \(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{100}=\frac{100}{100}-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}<1\)
\(\text{Vậy }\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{100!}<1\)
16 tháng 4 2019
\(\frac{9}{10!}+\frac{9}{11!}+...+\frac{9}{1000!}\)
\(=\frac{10-1}{10!}+\frac{11-2}{11!}+...+\frac{1000-991}{1000!}\)
\(=\frac{10}{10!}-\frac{1}{10!}+\frac{11}{11!}-\frac{1}{11!}+...+\frac{1000}{1000!}-\frac{1}{1000!}\)
\(=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+...+\frac{1}{999!}-\frac{1}{1000!}\)
\(=\frac{1}{9!}-\frac{1}{1000!}< \frac{1}{9!}\left(đpcm\right)\)
LT
0
PN
22 tháng 5
bài 1:
ta có \(\frac{1}{1!}=1\)
\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1\cdot2}\)
\(\frac{1}{3!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{2\cdot3}\)
bắt đầu từ đây ta giảm mẫu số:
\(\frac{1}{4!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}<\frac{1}{3\cdot4}\)
... tới \(\frac{1}{2012!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot2011\cdot2012}<\frac{1}{2011\cdot2012}\)
thay vào biểu thức S
=> \(S<1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2011\cdot2012}\)
áp dụng công thức: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
=> \(S=1+1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(S<2-\frac{1}{2012}\)
mà \(\frac{1}{2012}>0\)
=> \(S<2\)
bài 2:
Ta có công thức: \(\frac{1}{\left(n+1\right)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{\left(n+1\right)!}\)
=> \(\frac{9}{10!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}\)
\(\frac{10}{11!}=\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\)
\(\frac{11}{12!}=\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}\)
... tới: \(\frac{99}{100!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)
thay vào biểu thức ta gọi biểu thức là A
\(A=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\cdots+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)
A=\(\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)
mà \(\frac{1}{100!}>0\Rightarrow\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}<\frac{1}{9!}\)
vậy \(A<\frac{1}{9!}\)