ông năm - hai =ba ngà

Bài 2:

1: Xét ΔHBC có HA' là đường cao

nên \(S_{HBC}=\frac12\cdot HA^{\prime}\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔABC có AA' là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot A^{\prime}A\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac12\cdot HA^{\prime}\cdot BC}{\frac12\cdot A^{\prime}A\cdot BC}=\frac{HA^{\prime}}{A^{\prime}A}\)

Xét ΔHAC có HB' là đường cao

nên \(S_{HAC}=\frac12\cdot HB^{\prime}\cdot AC\left(3\right)\)

Xét ΔBAC có BB' là đường cao

nên \(S_{BAC}=\frac12\cdot BB^{\prime}\cdot AC\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{S_{HAC}}{S_{BAC}}=\frac{\frac12\cdot HB^{\prime}\cdot AC}{\frac12\cdot BB^{\prime}\cdot AC}=\frac{HB^{\prime}}{BB^{\prime}}\)

Xét ΔHAB có HC' là đường cao

nên \(S_{HAB}=\frac12\cdot HC^{\prime}\cdot AB\left(5\right)\)

Xét ΔCAB có CC' là đường cao

nên \(S_{CAB}=\frac12\cdot C^{\prime}C\cdot AB\left(6\right)\)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{S_{HAB}}{S_{CAB}}=\frac{\frac12\cdot HC^{\prime}\cdot AB}{\frac12\cdot C^{\prime}C\cdot AB}=\frac{HC^{\prime}}{C^{\prime}C}\)

Ta có: \(\frac{HA^{\prime}}{A^{\prime}A}+\frac{HB^{\prime}}{BB^{\prime}}+\frac{HC^{\prime}}{C^{\prime}C}\)

\(=\frac{S_{HAB}+S_{HAC}+S_{BCH}}{S_{BAC}}=1\)

2: Xét ΔBA'H vuông tại A' và ΔBB'C vuông tại B' có

\(\hat{HBA^{\prime}}\) chung

Do đó: ΔBA'H~ΔBB'C

=>\(\frac{BA^{\prime}}{BB^{\prime}}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(BH\cdot BB^{\prime}=BA^{\prime}\cdot BC\)

Xét ΔCA'H vuông tại A' và ΔCC'B vuông tại C' có

\(\hat{A^{\prime}CH}\) chung

Do đó: ΔCA'H~ΔCC'B

=>\(\frac{CA^{\prime}}{C^{\prime}C}=\frac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot C^{\prime}C=CA^{\prime}\cdot CB\)

\(BH\cdot BB^{\prime}+CH\cdot C^{\prime}C\)

\(=BA^{\prime}\cdot BC+CA^{\prime}\cdot BC=BC\left(BA^{\prime}+CA^{\prime}\right)=BC^2\)

Bài 1:

Xét ΔBAC có

BM,CN là các đường cao

BM cắt CN tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔBAC

=>AH⊥BC tại E

Xét tứ giác ANHM có \(\hat{ANH}+\hat{AMH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ANHM là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{NMH}=\hat{NAH}=\hat{BAE}\left(1\right)\)

Xét tứ giác CMHE có \(\hat{CMH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CMHE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EMH}=\hat{ECH}=\hat{NCB}\)

mà \(\hat{NCB}=\hat{BAE}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{EMH}=\hat{BAE}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{NMB}=\hat{EMB}\)

=>MB là phân giác của góc NME

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c khi đó độ dài đường cao tương ứng là 9,25,m trong đó:\(a,b,c\)là các số thực dương và \(m\in N\)

Theo đề ra,ta có:

\(9a=25b=2S\)(S là diện tích tam giác)

\(\Rightarrow a=\frac{2S}{9},b=\frac{2S}{25},c=\frac{2S}{m}\)

Áp dụng BĐT tam giác ta có:\(a-b< c< a+b\)

\(\Rightarrow\frac{225}{34}< m< \frac{225}{16}\)

\(\Rightarrow m=9\)vì m là số chính phương.

P/S:nếu có lỗi gì đó không nghiêm trọng đến mức sai bài giải,mong mọi người bỏ qua cho.

Ủa  mk tưởng  tam giác vuông  là  trường  hợp  đặc  biệt  cũng  chỉ  có  2 đường  cao  thôi mà ? ??? 

Bài 1:

3 4 x y z

Áp dụng đl pytago ta có:

\(\left(y+z\right)^2=3^2+4^2=9+16=25\)

=> y + z = 5

Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền ta có:

\(3^2=y\left(y+z\right)=5y\)

=>\(y=\frac{3^2}{5}=1,8\)

Có: y + z =5

=>z=5-y=5-1,8=3,2

Áp dụng hên thức liên quan tới đường cao:

\(x^2=y\cdot z=1,8\cdot3,2=\frac{144}{25}\)

=>\(x=\frac{12}{5}\)

Bài 2:

B A C H 1cm 2cm x y

Ta có: △ABC vuông tại A và có đg cao AH

AB² = BH.BC ( hệ thức lượng )

⇒ x² = 1 . 3

⇒ x = \(\sqrt{1.3}=\sqrt{3}cm\)

AC² = CH.BC

⇒ y² = 2 . 3

⇒ y = \(\sqrt{6}\) cm

Bài 1:                                                                                                                                                                                                Gọi số học sinh của khối 6 là a.                                                                                                                                                          Theo bài ta có : a = 12k+9 = 15k+9 = 18k+9  và 300<a<400                                                                                                                  Suy ra a-9 chia hết cho 12; 15; 18 và 300<a<400                                                                                                                                Hay a-9 \(\in\)  BC(12;15;18) và 291<a<391  (1)                                                                                                                                     Ta có 12 = 2². 3     

                                  15=3.5 

                                   18=2.3²     

Suy ra BCNN(12;15;18) = 2².3².5= 180      

BC(12;15;18) = { 0; 180;360;540;....}     (2)

Từ (1) và (2) suy ra a-9 = 360

Vì a-9 = 360 nên a = 360 + 9= 369                                      

Vậy khối 6 có tất cả 369 học sinh!!!!!

​Đặt AB = x , BC = x + 1 , AC = x + 2 , MH = a Xét 3 trường hợp 

Trường hợp 1 nếu góc B < 90o => BC > AC (khác đề)

Trường hợp 2 nếu góc B = 90 độ (khác đề)

Trường hợp 3 nếu góc B > 90o => AC > BC ( đúng) 

Nên ta sẽ đi xét trường hợp 3 : B > 90o ( bạn phải vẽ B > 90o nhé) HB = MH - BM

=> HB = a - (x+1)/2

=> HB^2 = (a - (x+1)/2)^2 HC = HB + BC

=> HC = a - x/2 + x

=> HC^2 = (a + (x+1)/2)^2 

Ta có AH^2 = AC^2 - HC^2 AH^2 = AB^2 - HB^2

 => AC^2 - HC^2 = AB^2 - HB^2 

<=> (x + 2)^2 - (a+ (x+1)/2)^2 = x^2 - (a - (x+1)/2)^2 

<=> x^2 - 4x - 4 - a^2 - ax - a - (x^2+2x+1)/4 = x^2 - a^2 + ax + a - (x^2+2x+1)/4 

<=> 2ax + 2a - 4x - 4 = 0 

<=> 2a(x+1) - 4(x+1) = 0 

<=> (x + 1).2(a - 2) = 0 

<=> x = -1 hoặc a = 2 hay AB = -1 hoặc HM = 2 

Xét hình bình bình ABCD có AB = CD = 8( cm ) và AD = BC = 6( cm )

Từ A kẻ các đường cao AH,AK.

Khi đó ta có:

Mà một hình bình hành thì chỉ có một diện tích chung nên 8.AH = 6.AK

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AH = 5( cm ) thì:

8.5 = 6.AK ⇔ AK = (8.5)/6 = 20/3( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AK = 5( cm ) thì:

8.AH = 6.5 ⇔ AH = (6.5)/8 = 15/4( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

Vậy bài toán này có hai đáp số 

Xét hình bình bình ABCD có AB = CD = 8( cm ) và AD = BC = 6( cm )

Từ A kẻ các đường cao AH,AK.

Khi đó ta có:

Mà một hình bình hành thì chỉ có một diện tích chung nên 8.AH = 6.AK

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AH = 5( cm ) thì:

8.5 = 6.AK ⇔ AK = (8.5)/6 = 20/3( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AK = 5( cm ) thì:

8.AH = 6.5 ⇔ AH = (6.5)/8 = 15/4( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

Vậy bài toán này có hai đáp số