Ta có:

\(n^2+3n+11\) 

\(=n^2+3n+18-7\)

\(=\left(n+2\right)\left(n+9\right)-7\)

Giả sử: \(n^2+3n+11\) ⋮ 49 \(\Rightarrow n^2+3n+11\) ⋮ 7

Mà: \(\left(n+9\right)-\left(n+2\right)\) ⋮ 7

Đồng thời ta có: \(\left(n+9\right)\left(n+2\right)\) ⋮ 49 ngược lại 7 \(⋮̸\)49 

Nên điểu giả sử là sai \(\Rightarrow n^2+3n+11⋮̸49\left(dpcm\right)\) 

\(\left(n-1\right)^2\cdot\left(n+1\right)+\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-1+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n;n-1;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3!\)

hay \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

a: \(n^3-2⋮n-2\)

=>\(n^3-8+6⋮n-2\)

=>\(6⋮n-2\)

=>\(n-2\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

=>\(n\in\left\{3;1;4;0;5;-1;8;-4\right\}\)

b: \(n^3-3n^2-3n-1⋮n^2+n+1\)

=>\(n^3+n^2+n-4n^2-4n-4+3⋮n^2+n+1\)

=>\(3⋮n^2+n+1\)

=>\(n^2+n+1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

mà \(n^2+n+1=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>=\dfrac{3}{4}\forall n\)

nên \(n^2+n+1\in\left\{1;3\right\}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}n^2+n+1=1\\n^2+n+1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n^2+n=0\\n^2+n-2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}n\left(n+1\right)=0\\\left(n+2\right)\left(n-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow n\in\left\{0;-1;-2;1\right\}\)

\(n^2+n+1\)

=n(n+1)+1

Vì n;n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên n(n+1)⋮2

=>n(n+1)+1 không chia hết cho 2

Giả sử \(n^2+n+1\) chia hết cho 9

=>\(n^2+2n-n-2+3\) ⋮9

=>(n+2)(n-1)+3⋮9

=>(n+2)(n-1)+3⋮3

=>(n+2)(n-1)⋮3

mà n+2-(n-1)=n+2-n+1=3⋮3

nên n+2⋮3 và n-1⋮3

=>(n+2)(n-1)⋮9

=>(n+2)(n-1)+3 không chia hết cho 9, trái với giả thiết

Do đó: \(n^2+n+1\) không chia hết cho 9

Ta có 2n+111...1(n chữ số 1) = 3n+(111...1-n) (n chữ số 1)

Vì 1 số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 111...1 - n (n chữ số 1) \(⋮\)3

mà 3n\(⋮\)3 => 2n+111...1(n chữ số 1) \(⋮\)3 (đpcm)

Sửa đề: \(n^2+2n\) chia hết cho n+1

Ta có: \(n^2+2n\) ⋮n+1

=>\(n^2+n+n+1-1\) ⋮n+1

=>-1⋮n+1

=>n+1∈{1;-1}

=>n∈{0;-2}