Cho (O;R) , hai đường kính AH, DE. QUa H kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AD và AE kéo dài lần lout75 tại B và C. Gọi M, N lần lout75 là trung dime963 của BH và HC.
a) CMR: DM , EN là tiếp tuyến của (O)
b) CM: trực tâm I của tam giác AMN là trung dime963 của OH.
c) Hai đường kính AH và DE của (O) phải thỏa mãn điều kiện gì đề diện tích tam giác AMN bé nhất.
a: Xét (O) có
ΔADH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔADH vuông tại D
=>HD⊥AB tại D
=>ΔDHB vuông tại D
mà DM là đường trung tuyến
nên MD=MH
=>\(\hat{MDH}=\hat{MHD}\)
mà \(\hat{MHD}=\hat{DHB}=\hat{DAH}\left(=90^0-\hat{DBH}\right)\)
nên \(\hat{MDH}=\hat{HAD}\)
\(\hat{ODM}=\hat{ODH}+\hat{MDH}\)
\(=\hat{OHD}+\hat{OAD}=90^0\)
=>DO⊥ DM tại D
=>DM là tiếp tuyến tại D của (O)
Xét (O) có
ΔAEH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAEH vuông tại E
=>HE⊥AC tại E
ΔHEC vuông tại E
mà EN là đường trung tuyến
nên NE=NH
=>ΔNEH cân tại N
=>\(\hat{NEH}=\hat{NHE}\)
mà \(\hat{NHE}=\hat{HAE}\left(=90^0-\hat{HCE}\right)\)
nên \(\hat{NEH}=\hat{HAE}\)
\(\hat{OEN}=\hat{OEH}+\hat{NEH}\)
\(=\hat{OHE}+\hat{OAE}=90^0\)
=>EO⊥ EN tại E
=>EN là tiếp tuyến tại E của (O)