a: B(-2;4); C(5;-1)

\(BC=\sqrt{\left(5+2\right)^2+\left(-1-4\right)^2}=\sqrt{7^2+\left(-5\right)^2}=\sqrt{74}\)

Phương trình đường tròn tâm B là:

\(\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=BC^2=74\)

b: Tọa độ trung điểm I của AC là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{1+5}{2}=\frac62=3\\ y_{I}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac22=1\end{cases}\)

=>I(3;1)

A(1;3); I(3;1)

\(IA=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(1-3\right)^2}=\sqrt8=2\sqrt2\)

Phương trình đường tròn đường kính AC là:

\(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=IA^2=8\)

Có \(AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{13}\)

Do ABC là tam giác vuông nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là M

\(\Rightarrow\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=R^2=AM^2=13\)

Gọi (C): x^2+y^2-2ax-2by+c=0 là PT đường tròn ngoại tiêpΔACB

Theo đề, ta có: 

2^2+(-1)^2-4a+2b+c=0 và 1+4+2a-4b+c=0 và 16+1+8a+2b+c=0

=>-4a+2b+c=-5 và 2a-4b+c=-5 và 8a+2b+c=-17

=>a=-1; b=-1; c=-7

=>x^2+y^2+2x+2y-7=0

=>x^2+2x+1+y^2+2y+1=9

=>(x+1)^2+(y+1)^2=9

a: vecto AB=(1;-1); vecto AC=(2;1); vecto BC=(1;2)

AB có VTPT là (1;1)

Phương trình AB là;

1(x-1)+1(y+1)=0

=>x+y=0

AC có VTPT là (-1;2)

PT AC là:

-1(x-1)+2(y+1)=0

=>-x+1+2y+2=0

=>-x+2y+3=0

BC có VTPT là (-2;1)

PT BC là;

-2(x-2)+1(y+2)=0

=>-2x+y+6=0

b: AH có VTPT là (1;2)

Phương trình AH là:

1(x-1)+2(y+1)=0

=>x-1+2y+2=0

=>x+2y+1=0

a)

– Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

– Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Cách 1:

+ Phương trình đường cao BD:

BD ⊥ AC ⇒ Đường thẳng BD nhận  là một vtpt

BD đi qua B(2; 7)

⇒ Phương trình đường thẳng BD: 7(x - 2) +11(y - 7) = 0 hay 7x + 11y – 91 = 0

+ Phương trình đường cao CE:

CE ⊥ AB ⇒ Đường thẳng CE nhận  là một vtpt

CE đi qua C(–3; –8)

⇒ Phương trình đường thẳng CE: 1(x + 3) – 2(y + 8)=0 hay x – 2y – 13 = 0.

Trực tâm H là giao điểm của BD và CE nên tọa độ của H là nghiệm của hpt:

Cách 2: Gọi H(x, y) là trực tâm tam giác ABC

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

b) Gọi T(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi đó TA = TB = TC = R.

+ TA = TB ⇒ AT2 = BT2

⇒ (x – 4)2 + (y – 3)2 = (x – 2)2 + (y – 7)2

⇒ x2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49

⇒ 4x – 8y = –28

⇒ x – 2y = –7 (1)

+ TB = TC ⇒ TB2 = TC2

⇒ (x – 2)2 + (y – 7)2 = (x + 3)2 + (y + 8)2

⇒ x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49 = x2 + 6x + 9 + y2 + 16y + 64

⇒ 10x + 30y = –20

⇒ x + 3y = –2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ x = –5, y = 1 ⇒ T(–5 ; 1).

⇒ T, H, G thẳng hàng.

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC: T(–5; 1)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC:

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

(x + 5)2 + (y – 1)2 = 85