pt <=> 9x^2+3y^2+12xy+12x+6y+15 = 0

<=> [(9x^2+12xy+4y^2)+2.(3x+2y).2+4] - (y^2+2y+1) + 12 = 0

<=> [(3x+2y)^2+2.(3x+2y).2+4] -(y+1)^2 = -12

<=> (3x+2y+2)^2 - (y+1)^2 = -12

<=> (3x+2y+2+y+1).(3x+2y+2-y-1) = -12

<=> (3x+3y+3).(3x+y+1) = -12

<=> (x+y+1).(3x+y+1) = -4

Đến đó bạn dùng quan hệ ước bội cho các số nguyên mà giải nha !

Tk mk nha

ủa ko có nghiệm ? 

mình chép đề bài đúng rồi nha bạn , mình cũng đang nghi là vô nghiệm đây nhưng vẫn đăng hỏi thử

Lời giải:
$x^2+5y^2+4xy=2023$
$\Leftrightarrow (x^2+4y^2+4xy)+y^2=2023$

$\Leftrightarrow (x+2y)^2+y^2=2023$

Ta biết rằng 1 scp khi chia cho $4$ dư $0$ hoặc $1$

Tức là $(x+2y)^2\equiv 0,1\pmod 4$ và $y^2\equiv 0,1\pmod 4$

$\Rightarrow (x+2y)^2+y^2\equiv 0,1,2\pmod 4$

Mà $2023\equiv 3\pmod 4$

Do đó không tồn tại $x,y$ nguyên để $(x+2y)^2+y^2=2023$

\(x^2+3y^2+4xy=2x+6y+24\)

=>(x+3y)(x+y)-2(x+3y)=24

=>(x+3y)(x+y-2)=24

=>(x+3y;x+y-2)∈{(1;24);(24;1);(-1;-24);(-24;-1);(2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(3;8);(8;3);(-3;-8);(-8;-3);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

mà x+3y+x+y-2=2x+4y-2=2(x+2y-1)⋮2

nên (x+3y;x+y-2)∈{((2;12);(12;2);(-2;-12);(-12;-2);(4;6);(6;4);(-4;-6);(-6;-4)}

TH1: x+3y=2 và x+y-2=12

=>x+3y=2 và x+y=14

=>x+3y-x-y=2-14

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=14

=>x=14-y=14-(-6)=20

=>Nhận

TH2: x+3y=12 và x+y-2=2

=>x+3y=12 và x+y=4

=>x+3y-x-y=12-4

=>2y=8

=>y=4

x+y=4

=>x=4-4=0

=>Nhận

TH3: x+3y=-2 và x+y-2=-12

=>x+3y=-2 và x+y=-10

=>x+3y-x-y=-2+10

=>2y=8

=>y=4

x+y=-10

=>x+4=-10

=>x=-14

=>Nhận

TH4: x+3y=-12 và x+y-2=-2

=>x+3y=-12 và x+y=0

=>x+3y-x-y=-12-0

=>2y=-12

=>y=-6

x+y=0

=>x=-y=-(-6)=6

TH5: x+3y=4 và x+y-2=6

=>x+3y=4 và x+y=8

=>x+3y-x-y=4-8

=>2y=-4

=>y=-2

x+y=8

=>x-2=8

=>x=10

=>Nhận

TH6: x+3y=6 và x+y-2=4

=>x+3y=6 và x+y=6

=>x+3y-x-y=6-6=0

=>2y=0

=>y=0

x+y=6

=>x=6-y=6-0=6

=>Nhận

TH7: x+3y=-4 và x+y-2=-6

=>x+3y=-4 và x+y=-4

=>x+3y-x-y=-4-(-4)

=>2y=0

=>y=0

x+y=-4

=>0+y=-4

=>y=-4

TH8: x+3y=-6 và x+y-2=-4

=>x+3y=-6 và x+y=-2

=>x+3y-x-y=-6-(-2)

=>2y=-6+2=-4

=>y=-2

x+y=-2

=>x-2=-2

=>x=0

\(4x^2+4y-4xy+5y^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(2y+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{4}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x^2+4y^2+4xy-2\left(x+2y\right)+1=5-4y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)^2=5-4y^2\)

TH1 : \(4y^2=0\)

Pt \(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)^2=5\)Mà 5 không là số chính phương.

=> Không có số nguyên x nào thỏa mãn.

TH2 : \(4y^2>0\)

Do \(\left(x+2y+1\right)^2\ge0\Rightarrow5\ge4y^2\)

Mà y nguyên

=> \(4y^{2}=4\)

=> y ∈ {1 ; -1}

Với y = 1

=> x + 3 = 1

=> x = -2 (tm)Với y = -1

=> x - 1 = 1

=> x = 2 (tm)Vậy..

từ trường hợp y=1 của bạn có thể giải thành 2 trường hợp của x

Thay y=1 vào \(\left(x+2y-1\right)^2=5-4y^2\)được

\(\left(x+2-1\right)^2=5-4\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=1\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-1=0\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

*Trường hợp y=-1

\(\left(x-2-1\right)^2=5-4\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=1\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2-1=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(y+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=\left\{-1;-3;1\right\}\)

Thế vào pt ban đầu tìm x nguyên tương ứng

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Ta có: \(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\ge\left(y+1\right)^2\)

Mà \(y\in Z\Rightarrow\left(y+1\right)^2\in Z\Rightarrow\left(y+1\right)^2\in\left\{0;1;4\right\}\)

Với \(\left(y+1\right)^2=0\Rightarrow y+1=0\Rightarrow y=-1\)

Thay y=-1 vào pt (1) ta tìm được \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\x=0\end{matrix}\right.\)

Với \(\left(y+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+1=1\\y+1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Thay y=0 vào pt (1) ta không tìm được x nguyên 

Thay y=-2 vào pt (1) ta không tìm được x nguyên 

Với \(\left(y+1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+1=-2\\y+1=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-3\\y=1\end{matrix}\right.\)

Thay y=-3 vào pt (1) tìm được \(x=-6\)

Thay y=1 vào pt (1) tìm được \(x=2\)