C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM

Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)

Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\) 

Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)

\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)

Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)

\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)

Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)

\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân

a: Xét tứ giác PAOM có

góc PAO+góc PMO=180 độ

=>PAOM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

PA,PM là tiếp tuyến

nên PA=PM và OP là phân giác của góc MOA(1)

mà OA=OM

nên OP là trung trực của AM

=>OP vuông góc AM

Xét (O) có

QM,QB là tiếp tuyến

nên QM=QB và OQ là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OQ là trung trực của MB

=>OQ vuông góc MB tại K

Từ (1), (2) suy ra góc POQ=1/2*180=90 độ

Xét tứ giác MIOK có

góc MIO=góc MKO=góc IOK=90 độ

=>MIOK là hình chữ nhật

Xét ΔOPQ vuông tại O có OM là đường cao

nên MP*MQ=OM^2=R^2

=>AP*QB=OM^2=R^2 ko đổi

Cl

a: Xét (O) có

MA,MH là tiếp tuyến

nên MA=MH

mà OA=OH

nên OM là phân giác của góc AOH(1) và HM=MA

Xét (O) có

NH,NB là tiếp tuyến

nên NH=NB và ON là phân giác của góc HOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc MON=1/2*180=90 độ

AM*BN=HM*HN=OH^2=R^2

b: AM+BN=HN+HM>=2*OH=AB

Dấu = xảy ra khi MN=AB

=>H trùng với O

a: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA 

Xét (O) cso

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

DO đó: DM=DB

Ta có: CM+MD=CD

mà CM=CA

và MD=DB

nên CD=CA+DB

b: Xét tứ giác DMOB có 

\(\widehat{DMO}+\widehat{DBO}=180^0\)

Do đó: DMOB là tứ giác nội tiếp

a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

\(\hat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM

\(\hat{BEM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

Do đó; \(\hat{ABM}=\hat{BEM}\)

Xét ΔABM và ΔAEB có

\(\hat{ABM}=\hat{AEB}\)

góc BAM chung

Do đó: ΔABM~ΔAEB

=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AM}{AB}\)

=>\(AM\cdot AE=AB^2\left(1\right)\)

c: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (2),(3) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại N và N là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BN là đường cao

nên \(AN\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (1),(4) suy ra \(AN\cdot AO=AM\cdot AE\)

=>\(\frac{AN}{AE}=\frac{AM}{AO}\)

Xét ΔANM và ΔAEO có

\(\frac{AN}{AE}=\frac{AM}{AO}\)

góc NAM chung

Do đó: ΔANM~ΔAEO

=>\(\hat{ANM}=\hat{AEO}\)

mà \(\hat{ANM}+\hat{ONM}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{ONM}+\hat{OEM}=180^0\)

=>ONME là tứ giác nội tiếp

1: Xét (I) có

ΔAMC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAMC vuông tại M

=>CM⊥DA tại M

Xét (J) có

ΔCNB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCNB vuông tại N

=>CN⊥DB tại N

Xét (O) có

ΔDAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔDAB vuông tại D

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

Xét tứ giác DMCN có \(\hat{DMC}=\hat{DNC}=\hat{MDN}=90^0\)

nên DMCN là hình chữ nhật

2: Xét ΔDCA vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DA=DC^2\left(1\right)\)

Xét ΔDCB vuông tại C có CN là đường cao

nên \(DN\cdot DB=DC^2\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(DM\cdot DA=DN\cdot DB\)

=>\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Xét ΔDMN vuông tại D và ΔDBA vuông tại D có

\(\frac{DM}{DB}=\frac{DN}{DA}\)

Do đó: ΔDMN~ΔDBA

=>\(\hat{DMN}=\hat{DBA}\)

mà \(\hat{DMN}+\hat{AMN}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AMN}+\hat{ABN}=180^0\)

=>AMNB là tứ giác nội tiếp

c: ΔDNM~ΔDAB

=>\(\hat{DNM}=\hat{DAB}\)

Gọi Dx là tiếp tuyến tại D của (O)

=>OD⊥ Dx tại D

Xét (O) có

\(\hat{xDB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Dx và dây cung DB

\(\hat{DAB}\) là góc nội tiếp chắn cung DB

Do đó: \(\hat{xDB}=\hat{DAB}\)

=>\(\hat{xDB}=\hat{DNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Dx//MN

=>MN⊥OD