Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 

2n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮42n+1≡1(mod8)⇒2n⋮8⇒n⋮4

Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra

n+1≡1(mod8)⇒n⋮8n+1≡1(mod8)⇒n⋮8

Lại có

(n+1)+(2n+1)=3n+2(n+1)+(2n+1)=3n+2

Ta thấy

3n+2≡2(mod3)3n+2≡2(mod3)

Suy ra

(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)(n+1)+(2n+1)≡2(mod3)

Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên

n+1≡2n+1≡1(mod3)n+1≡2n+1≡1(mod3)

Do đó

n⋮3n⋮3

Vậy ta có đpcm.

cảm ơn bạn nhiều !!

Tham khảo câu hỏi tương tự nhé bạn .

Tick tớ đc chứ 

\(n^2-n+1\) là số chính phương

=>\(n^2-n+1=k^2\)

=>\(4n^2-4n+4=4k^2\)

=>\(4n^2-4n+1+3=4k^2\)

=>\(\left(2n-1\right)^2-4k^2=-3\)

=>(2n-1-2k)(2n-1+2k)=-3

=>(2n-1-2k;2n-1+2k)∈{(1;-3);(-3;1);(-1;3);(3;-1)}

TH1: 2n-1-2k=1 và 2n-1+2k=-3

=>2n-1-2k+2n-1+2k=1-3

=>4n-2=-2

=>4n=0

=>n=0(nhận)

TH2: 2n-1-2k=-3 và 2n-1+2k=1

=>2n-1-2k+2n-1+2k=1-3

=>4n-2=-2

=>4n=0

=>n=0(nhận)

TH3: 2n-1-2k=-1 và 2n-1+2k=3

=>2n-1-2k+2n-1+2k=-1+3

=>4n-2=2

=>4n=4

=>n=1(nhận)

TH4: 2n-1-2k=3 và 2n-1+2k=-1

=>2n-1-2k+2n-1+2k=-1+3

=>4n-2=2

=>4n=4

=>n=1(nhận)

Lời giải:

Đặt  $n^2-2n+2020=a^2$ với $a\in\mathbb{N}^*$

$\Leftrightarrow (n-1)^2+2019=a^2$

$\Leftrightarrow 2019=(a-n+1)(a+n-1)$

Với $a\in\mathbb{N}^*, n\in\mathbb{N}$ thì $a+n-1>0$

$\Rightarrow a-n+1>0$. Vậy $a+n-1> a-n+1>0$

Mà tích của chúng bằng $2019$ nên ta có các TH sau:

TH1: $a+n-1=2019; a-n+1=1$

$\Rightarrow n=1010$ (tm)

TH2: $a+n-1=673, a-n+1=3$

$\Rightarrow n=336$

Giả sử n^2 + 2006 = m^2 (m,n la số nguyên) 
Suy ra n^2 - m^2 =2006 <==> ( n - m )( n + m ) = 2006 
Gọi a = n - m, b = n + m ( a,b cũng là số nguyên) 
Vì tích của a và b bằng 2006 la một số chẵn, suy ra trong 2 số a và b phải có ít nhất 1 số chẵn (1) 
Mặt khác ta có: a + b = (n - m) + (n + m) = 2n là 1 số chẵn ==> a và b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2) 
Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn 
Suy ra a = 2k , b= 2l ( với k,l là số nguyên) 
Theo như trên ta có a.b = 2006 hay 2k.2l = 2006 hay 4.k.l = 2006 
Vì k,l là số nguyên nên suy ra 2006 phải chia hết cho 4 ( điều này vô lý, vì 2006 không chia hết cho 4) 
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài đã cho.(đpcm)

Đặt n²+2006=a² (a\(\in\)Z)
=> 2006=a² - n²  = (a - n)(a + n) (1)

Mà (a + n) - (a - n) = 2n chia hết cho 2

=>a + n và a - n có cùng tính chẵn lẻ

+)TH1: a + n và a - n cùng lẻ => (a - n)(a + n) lẻ, trái với (1)

+)TH2: a + n và a - n cùng chẵn => (a - n)(a + n) chia hết cho 4, trái với (1)

Vậy không có n thỏa mãn n² +2006 là số chính phương