+ (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau

 cùng được căng bởi dây AB

+ (O) có  là góc nội tiếp chắn cung 

+ (O’) có  là góc nội tiếp chắn cung 

Từ (1); (2); và (3) suy ra 

⇒ ΔBMN cân tại B.

Kiến thức áp dụng

+ (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau

 cùng được căng bởi dây AB

+ (O) có  là góc nội tiếp chắn cung 

+ (O’) có  là góc nội tiếp chắn cung 

Từ (1); (2); và (3) suy ra 

⇒ ΔBMN cân tại B.

Do hai đường tròn bằng nhau nên hai cung nhỏ AB bằng nhau. Vì cùng căng dây AB.

Suy ra = (cùng chắn hai cung bằng nhau) nên tam giác BMN là tam giác cân đỉnh B

A,C,D,B cùng thuộc (O)

=>ACDB là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ACD}+\hat{ABD}=180^0\)

mà \(\hat{ACD}+\hat{ICD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{ICD}=\hat{ABD}\) (1)

A,B,D',C' cùng thuộc (O')

=>ABD'C' là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ABD^{\prime}}+\hat{AC^{\prime}D^{\prime}}=180^0\)

mà \(\hat{ABD^{\prime}}+\hat{ABD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{IC^{\prime}D^{\prime}}=\hat{ABD}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ICD}=\hat{IC^{\prime}D^{\prime}}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên CD//C'D'

AD là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat{DAB}=\widehat{ACB}\) ( cùng chắn \(\stackrel\frown{AB}\) )

AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ \(\widehat{CAB}=\widehat{ADB}\) ( cùng chắn \(\stackrel\frown{AB}\) )

⇒ △ CAB ∼ △ ADB ( g - g )

⇒ \(\dfrac{CB}{AB}=\dfrac{AB}{BD}\Rightarrow AB^2=BC.BD\)

+ Trên đường tròn tâm O:

 là góc tạo bởi tiếp tuyến AD và dây AB

+ Trên đường tròn tâm O’:

 là góc tạo bởi tiếp tuyến AC và dây AB

+ Trên đường tròn tâm O:

 là góc tạo bởi tiếp tuyến AD và dây AB

+ Trên đường tròn tâm O’:

 là góc tạo bởi tiếp tuyến AC và dây AB

Kiến thức áp dụng