Bài 1: Sửa đề: \(\hat{AMC}=90^0\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

ABCD là hình chữ nhật

=>AC=BD

ΔAMC vuông tại M

mà MO là đường trung tuyến

nên \(MO=\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}\)

Xét ΔMBD có

MO là đường trung tuyến

MO=BD/2

Do đó: ΔMBD vuông tại M

=>\(MB^2+MD^2=BD^2\)

ΔMAC vuông tại M

=>\(MA^2+MC^2=AC^2\)

\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\)

\(=\left(MA^2+MC^2\right)+\left(MB^2+MD^2\right)\)

\(=AC^2+BD^2=2\cdot AC^2\) không đổi

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có:

Cộng (1) và (2) ta có:

Gọi J là trung điểm của EF, ta có:

Khi đó:

Vậy M A 2   +   M B 2   +   M C 2   +   M D 2  đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ J.

Đáp án đúng : A

Đáp án D

Với tứ diện đều ABCD thì mặt cầu (S) là mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và là trọng tâm của tứ diện đều cạnh a, đồng thời có bán kính R = a 2 4  

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ⇒ G A ¯ + G B ¯ + G C ¯ + G D ¯ = 0 ¯  

Ta có: 

T = M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = M G ¯ + G A ¯ 2 + M G ¯ + G B ¯ 2 + M G ¯ + G C ¯ 2 + M G ¯ + G D ¯ 2  

= 4 M G 2 + 2 M G ¯ G A ¯ + G B ¯ + G C ¯ + G D ¯ ⏟ 0 + G A 2 + G B 2 + G C 2 + G D 2 = 4 M G 2 + 4 G A 2  

= 4 a 2 4 2 + 4 a 6 4 2 = 2 a 2  . Vậy T = M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = 2 a 2  

Đáp án B.