ta có:

1+2=3

3+0=3

có:

2 nhân 2 bằng 4

vậy có 4 cặp

TH1: y=0

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3^0=1\)

=>\(x^2-x=0\)

=>x(x-1)=0

=>x=0(nhận) hoặc x=1(nhận)

TH2: y=1

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3\)

=>\(x^2-x-2=0\)

=>(x-2)(x+1)=0

=>x=2(nhận) hoặc x=-1(loại)

TH3: y>=2

=>\(3^{y}\) chia hết cho 9

=>\(x^2-x+1\) cũng phải chia hết cho 9

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+4=4\cdot3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+1=4\cdot3^{y}-3\)

=>\(\left(2x-1\right)^2=3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\)

Vì \(4\cdot3^{y-1}-1\) không chia hết cho 3 khi y>=2

nên \(3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>\(\left(2x-1\right)^2\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>Loại

TH1: y=0

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3^0=1\)

=>\(x^2-x=0\)

=>x(x-1)=0

=>x=0(nhận) hoặc x=1(nhận)

TH2: y=1

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(x^2-x+1=3\)

=>\(x^2-x-2=0\)

=>(x-2)(x+1)=0

=>x=2(nhận) hoặc x=-1(loại)

TH3: y>=2

=>\(3^{y}\) chia hết cho 9

=>\(x^2-x+1\) cũng phải chia hết cho 9

\(x^2-x+1=3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+4=4\cdot3^{y}\)

=>\(4x^2-4x+1=4\cdot3^{y}-3\)

=>\(\left(2x-1\right)^2=3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\)

Vì \(4\cdot3^{y-1}-1\) không chia hết cho 3 khi y>=2

nên \(3\left(4\cdot3^{y-1}-1\right)\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>\(\left(2x-1\right)^2\) không chia hết cho 9 khi y>=2

=>Loại

\(4x^2+4x+y^2-6y=24\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=34=3^2+5^2\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=3^2\\\left(y-3\right)^2=5^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=8\end{cases}}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=5^2\\\left(y-3\right)^2=3^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

Vay.....

\(4x^2+4x+y^2-6y=24\)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+y^2-6y-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(y^2-6y+9\right)-34=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=34\)

Mà \(34=3^2+5^2=\left(-3\right)^2+\left(-5\right)^2\)

Vì là nghiệm nguyên dương nên:

\(\left(2x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=3^2+5^2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x+1=3\\y-3=5\end{cases}}\)hoặc     \(\orbr{\begin{cases}2x+1=5\\y-3=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x=2\\y=8\end{cases}}\)         hoặc     \(\orbr{\begin{cases}2x=4\\y=6\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\y=8\end{cases}}\)           hoặc      \(\orbr{\begin{cases}x=2\\y=6\end{cases}}\)

Vậy các cặp số (x;y) là: (1;8);(2;6)

x+y=6-2

x+y=4

suy ra có 5 trường hợp

x=0,y=4

x=1,y=3

x=2,y=2

x=3,y=1

x=4,y=0

2. 

\(\frac{2}{2x+1}=\frac{y}{4}\)

\(\Rightarrow y.\left(2x+1\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow y;2x+1\inƯ\left(8\right)\)

Mà 2x + 1 là số lẻ \(\Rightarrow2x+1\in\left\{-1;1\right\}\)

Ta có bảng:

Ta có: 

\(x^2-6x+y^2-10y=27\)

<=> \(x^2-2.y.3+9+y^2-2.y.5+25-9-25=27\)

<=> \(\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=61\)

<=> \(\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=5^2+6^2\)

Do x, y nguyên dương 

=> x-3 >-3; y-5 >-5 

TH1: \(\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2=5^2\\\left(y-5\right)^2=6^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3=5\\y-5=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=11\end{cases}}\)(tm)

TH2: \(\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2=6^2\\\left(y-5\right)^2=5^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3=6\\y-5=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=9\\y=10\end{cases}}\)(tm)