C/m bất dẳng thức:

\( ( a^2 + b^2 ) (a^2 + 1) \geq 4 a^2 b \)

luôn đúng với mọi a, b.

C/m bất đẳng thức sau:

\(( a^2 + b^2 ) (a^2 + 1) \geq 4 a^2 b\)

luôn đúng với mọi a, b.

C/m bất đẳng thức sau:

\(( a^2 + b^2 )(a^2 + 1) \geq 4 a^2 b\)

luôn đúng với mọi a, b.

Vì a>0; b>0 nên a + b \geq 4ab1+ab4ab1+ab
\Leftrightarrow (a + b)(1 + ab)\geq 4ab
\Leftrightarrow a + b + a^2b+ab^2\geq 4ab
\Leftrightarrow a + b + a^b + ab^2 - 4ab\geq 0
\Leftrightarrow (a^2b - 2ab + b) + (ab^2 - 2ab +a) \geq 0
\Leftrightarrow b(a^2 -2a + 1) + a(b^2 - 2B + 1)\geq 0
\Leftrightarrow b(a-1)^2 + a(b-1)^2\geq 0
\Rightarrow Bất đẳng thức đúng\Rightarrow đpcm.

cm bất dẳng thức : a^2+b^2+c^2> hoặc bằng a(b+c)với mọi a,b,c

chứng minh các bất đẳng thức:

1/ 4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2>=0

2/ 4a^2b^2>(a^2+b^2-c^2)^2 với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác

3/a/b+b/a>=2 với a^b>0

Bài 1: chỉ ra chỗ sai của một trong hai vế và sửa lại cho đúng các hằng dẳng thức 

a) x^2 - 2xy + 4y^2 = (x - 2y)^2

b) a^2 + 24ab + b^2 = (4a + 3b)^2

c) 9x^2 + 6xy + y^2 = (3x - y)^2

d) a^3 - 8a^2b + 6ab^2 - 8b^3 = (a - 2b)^3

chứng minh các bất đẳng thức sau

a/ \(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\) với mọi a,b

b/ \(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\ge\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}\) với mọi a,b,c>0

chứng tỏ rằng với bất kỳ giá trị nào của m thì các bất đẳng thức sau luôn
luôn đúng
a. 10 m 2 – 5m +1 $\geq$ m 2 + m
b. m 2 - m $\leq$ 50m 2 – 15m + 1