Bài 1

Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)

Biến đổi:

\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)

\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)

\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)

Áp dụng BĐT Am-Gm:

\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)

\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)

\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.

Bài 2a)

Ta có

\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)

\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)

Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)

\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó

Thiếu \(a,b\ge0\) nhé 

\(1)\) Cauchy-Schwarz dạng Engel : 

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{9\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\) ( đpcm ) 

\(2)\)

\(\frac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}{4}=\frac{a^3+b^3+ab^2+a^2b}{4}=\frac{a^3+b^3+ab\left(a+b\right)}{4}\)

Cần CM : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-ab\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng ) 

\(\frac{a^3+b^3+ab\left(a+b\right)}{4}=\frac{2\left(a^3+b^3\right)}{4}=\frac{a^3+b^3}{2}\) ( đpcm ) 

3,4 làm sau 

Lời giải:

Áp dụng bđt AM-GM:

\(a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2\geq 2(ab+b+1)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2(ab+b+1)}\). Tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=A\)

Dựa vào đk \(abc=1\) dễ thấy \(A=1\).

Cách CM:

\(A=\frac{c}{1+bc+c}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{c+1}{bc+c+1}+\frac{bc}{c+1+bc}=1\) (đpcm)

\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bài 1:

\(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{50^2}=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{50^2}\)

\(< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{49.50}\)

\(=1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{50}\)

\(=1+1-\dfrac{1}{50}\)

\(=2-\dfrac{1}{50}\)

\(\Rightarrow A< 2-\dfrac{1}{50}< 2\)

\(\Rightarrow A< 2\left(đpcm\right)\)

Vậy...

mong các thầy cô giúp em giải bài này với ạ

Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\((a + b + c)^2 \le (1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2 + b^2 + c^2) = 3 \cdot 3 = 9\)

=>a+b+c<=3(1)

\(3(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) = (a^2 + b^2 + c^2)(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)\)

Theo BĐT Am-Gm, ta có:

\(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \le \frac{(ab + bc + ca)^2}{3}\)

=>\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le\frac{9}{3}=3\)

=>\(3(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \le 3(a + b + c)\)

\(\implies a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \le a + b + c \quad (2)\)

Theo bđt Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\text{VT} = \frac{1}{1+a^2b^2} + \frac{1}{1+b^2c^2} + \frac{1}{1+c^2a^2} \ge \frac{(1 + 1 + 1)^2}{(1 + a^2b^2) + (1 + b^2c^2) + (1 + c^2a^2)}\)

=>\(VT\ge\frac{9}{3 + (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)}\)

=>\(VT\ge\frac{9}{3+\left(a+b+c\right)}\)

=>\(\text{VT} \ge \frac{9}{3 + a + b + c} \ge \frac{9}{2(a + b + c)}\) (ĐPCM)